Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72711 / 103431
↖ ↑ ↗
← S 71.531001°
E 19.706726°		 ← 96.76 m → S 71.531001°
E 19.709473°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
S 71.531870°
E 19.706726°		 ← 96.75 m →
9 357 m²		 S 71.531870°
E 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554744720458984 y=0.789119720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554744720458984 × 217)
    floor (0.554744720458984 × 131072)
    floor (72711.5)     		tx = 72711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789119720458984 × 217)
    floor (0.789119720458984 × 131072)
    floor (103431.5)     		ty = 103431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72711 / 103431 ti = "17/72711/103431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72711/103431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72711 ÷ 217
    72711 ÷ 131072     		x = 0.554740905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103431 ÷ 217
    103431 ÷ 131072     		y = 0.789115905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554740905761719 × 2 - 1) × π
    0.109481811523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.34394725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789115905761719 × 2 - 1) × π
    -0.578231811523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.81656881110203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34394725} λ = 0.34394725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81656881110203))-π/2
    2×atan(0.162582646752682)-π/2
    2×0.161172423991861-π/2
    0.322344847983721-1.57079632675     		φ = -1.24845148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34394725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.706726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24845148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.531001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72711 KachelY 103431 0.34394725 -1.24845148 19.706726 -71.531001
    Oben rechts KachelX + 1 72712 KachelY 103431 0.34399519 -1.24845148 19.709473 -71.531001
    Unten links KachelX 72711 KachelY + 1 103432 0.34394725 -1.24846666 19.706726 -71.531870
    Unten rechts KachelX + 1 72712 KachelY + 1 103432 0.34399519 -1.24846666 19.709473 -71.531870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24845148--1.24846666) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dl = 96.7117800007298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24845148--1.24846666) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dr = 96.7117800007298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34394725-0.34399519) × cos(-1.24845148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.316791505412827 × 6371000     		do = 96.7562799664754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34394725-0.34399519) × cos(-1.24846666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.316777107219211 × 6371000     		du = 96.7518823875354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24845148)-sin(-1.24846666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316791505412827-0.316777107219211)×R²
    abs(0.34399519-0.34394725)×1.43981936164272e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43981936164272e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43981936164272e-05×40589641000000     		ar = 9357.25941318504m²