Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7271 / 4941
↖ ↑ ↗
← N 57.926517°
W 20.236817°		 ← 1 297.40 m → N 57.926517°
W 20.214844°		 →
↑
1 297.58 m
↓
↑
1 297.58 m
↓
N 57.914848°
W 20.236817°		 ← 1 297.82 m →
1 683 752 m²		 N 57.914848°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443817138671875 y=0.301605224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443817138671875 × 214)
    floor (0.443817138671875 × 16384)
    floor (7271.5)     		tx = 7271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301605224609375 × 214)
    floor (0.301605224609375 × 16384)
    floor (4941.5)     		ty = 4941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7271 / 4941 ti = "14/7271/4941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7271/4941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7271 ÷ 214
    7271 ÷ 16384     		x = 0.44378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4941 ÷ 214
    4941 ÷ 16384     		y = 0.30157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35319908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30157470703125 × 2 - 1) × π
    0.3968505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24674288531842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35319908} λ = -0.35319908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24674288531842))-π/2
    2×atan(3.47899300425507)-π/2
    2×1.29090238880955-π/2
    2.58180477761911-1.57079632675     		φ = 1.01100845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35319908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01100845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.926517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7271 KachelY 4941 -0.35319908 1.01100845 -20.236817 57.926517
    Oben rechts KachelX + 1 7272 KachelY 4941 -0.35281558 1.01100845 -20.214844 57.926517
    Unten links KachelX 7271 KachelY + 1 4942 -0.35319908 1.01080478 -20.236817 57.914848
    Unten rechts KachelX + 1 7272 KachelY + 1 4942 -0.35281558 1.01080478 -20.214844 57.914848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01100845-1.01080478) × R
    0.0002036700000001 × 6371000     		dl = 1297.58157000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01100845-1.01080478) × R
    0.0002036700000001 × 6371000     		dr = 1297.58157000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35319908--0.35281558) × cos(1.01100845) × R
    0.000383499999999981 × 0.531006463501848 × 6371000     		do = 1297.39667563504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35319908--0.35281558) × cos(1.01080478) × R
    0.000383499999999981 × 0.531179035880677 × 6371000     		du = 1297.81831801792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01100845)-sin(1.01080478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531006463501848-0.531179035880677)×R²
    abs(-0.35281558--0.35319908)×0.000172572378828617×R²
    0.000383499999999981×0.000172572378828617×6371000²
    0.000383499999999981×0.000172572378828617×40589641000000     		ar = 1683751.57879809m²