Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72709 / 103417
↖ ↑ ↗
← S 71.518816°
E 19.701233°		 ← 96.82 m → S 71.518816°
E 19.703980°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
S 71.519686°
E 19.701233°		 ← 96.81 m →
9 369 m²		 S 71.519686°
E 19.703980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554729461669922 y=0.789012908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554729461669922 × 217)
    floor (0.554729461669922 × 131072)
    floor (72709.5)     		tx = 72709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789012908935547 × 217)
    floor (0.789012908935547 × 131072)
    floor (103417.5)     		ty = 103417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72709 / 103417 ti = "17/72709/103417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72709/103417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72709 ÷ 217
    72709 ÷ 131072     		x = 0.554725646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103417 ÷ 217
    103417 ÷ 131072     		y = 0.789009094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554725646972656 × 2 - 1) × π
    0.109451293945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.34385138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789009094238281 × 2 - 1) × π
    -0.578018188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.81589769450735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34385138} λ = 0.34385138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81589769450735))-π/2
    2×atan(0.162691795286525)-π/2
    2×0.161278759850107-π/2
    0.322557519700214-1.57079632675     		φ = -1.24823881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34385138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.701233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24823881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.518816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72709 KachelY 103417 0.34385138 -1.24823881 19.701233 -71.518816
    Oben rechts KachelX + 1 72710 KachelY 103417 0.34389932 -1.24823881 19.703980 -71.518816
    Unten links KachelX 72709 KachelY + 1 103418 0.34385138 -1.24825400 19.701233 -71.519686
    Unten rechts KachelX + 1 72710 KachelY + 1 103418 0.34389932 -1.24825400 19.703980 -71.519686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24823881--1.24825400) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dl = 96.7754900003426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24823881--1.24825400) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dr = 96.7754900003426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34385138-0.34389932) × cos(-1.24823881) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.316993214721223 × 6371000     		do = 96.8178871812572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34385138-0.34389932) × cos(-1.24825400) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.316978808066291 × 6371000     		du = 96.8134870180135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24823881)-sin(-1.24825400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316993214721223-0.316978808066291)×R²
    abs(0.34389932-0.34385138)×1.4406654932575e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4406654932575e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4406654932575e-05×40589641000000     		ar = 9369.38555912126m²