Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7270 / 3527
↖ ↑ ↗
← N 71.024106°
W 20.258789°		 ← 794.46 m → N 71.024106°
W 20.236817°		 →
↑
794.65 m
↓
↑
794.65 m
↓
N 71.016960°
W 20.258789°		 ← 794.75 m →
631 437 m²		 N 71.016960°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443756103515625 y=0.215301513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443756103515625 × 214)
    floor (0.443756103515625 × 16384)
    floor (7270.5)     		tx = 7270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215301513671875 × 214)
    floor (0.215301513671875 × 16384)
    floor (3527.5)     		ty = 3527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7270 / 3527 ti = "14/7270/3527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7270/3527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7270 ÷ 214
    7270 ÷ 16384     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3527 ÷ 214
    3527 ÷ 16384     		y = 0.21527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21527099609375 × 2 - 1) × π
    0.5694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7890050938205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7890050938205))-π/2
    2×atan(5.98349648642438)-π/2
    2×1.40520041158445-π/2
    2.81040082316889-1.57079632675     		φ = 1.23960450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23960450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.024106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7270 KachelY 3527 -0.35358257 1.23960450 -20.258789 71.024106
    Oben rechts KachelX + 1 7271 KachelY 3527 -0.35319908 1.23960450 -20.236817 71.024106
    Unten links KachelX 7270 KachelY + 1 3528 -0.35358257 1.23947977 -20.258789 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 7271 KachelY + 1 3528 -0.35319908 1.23947977 -20.236817 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23960450-1.23947977) × R
    0.000124730000000017 × 6371000     		dl = 794.65483000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23960450-1.23947977) × R
    0.000124730000000017 × 6371000     		dr = 794.65483000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35319908) × cos(1.23960450) × R
    0.000383489999999986 × 0.325170316598449 × 6371000     		do = 794.460926782285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35319908) × cos(1.23947977) × R
    0.000383489999999986 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 794.749101711327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23960450)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325170316598449-0.325288265675305)×R²
    abs(-0.35319908--0.35358257)×0.000117949076856305×R²
    0.000383489999999986×0.000117949076856305×6371000²
    0.000383489999999986×0.000117949076856305×40589641000000     		ar = 631436.713333031m²