Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7270 / 10793
↖ ↑ ↗
← S 49.510944°
W 20.258789°		 ← 1 586.39 m → S 49.510944°
W 20.236817°		 →
↑
1 586.19 m
↓
↑
1 586.19 m
↓
S 49.525208°
W 20.258789°		 ← 1 585.92 m →
2 515 940 m²		 S 49.525208°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443756103515625 y=0.658782958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443756103515625 × 214)
    floor (0.443756103515625 × 16384)
    floor (7270.5)     		tx = 7270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658782958984375 × 214)
    floor (0.658782958984375 × 16384)
    floor (10793.5)     		ty = 10793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7270 / 10793 ti = "14/7270/10793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7270/10793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7270 ÷ 214
    7270 ÷ 16384     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10793 ÷ 214
    10793 ÷ 16384     		y = 0.65875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997471007294128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997471007294128))-π/2
    2×atan(0.368810983029591)-π/2
    2×0.35333367335157-π/2
    0.70666734670314-1.57079632675     		φ = -0.86412898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86412898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.510944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7270 KachelY 10793 -0.35358257 -0.86412898 -20.258789 -49.510944
    Oben rechts KachelX + 1 7271 KachelY 10793 -0.35319908 -0.86412898 -20.236817 -49.510944
    Unten links KachelX 7270 KachelY + 1 10794 -0.35358257 -0.86437795 -20.258789 -49.525208
    Unten rechts KachelX + 1 7271 KachelY + 1 10794 -0.35319908 -0.86437795 -20.236817 -49.525208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86412898--0.86437795) × R
    0.000248969999999904 × 6371000     		dl = 1586.18786999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86412898--0.86437795) × R
    0.000248969999999904 × 6371000     		dr = 1586.18786999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35319908) × cos(-0.86412898) × R
    0.000383489999999986 × 0.649302798745507 × 6371000     		do = 1586.38620108336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35319908) × cos(-0.86437795) × R
    0.000383489999999986 × 0.64911342947038 × 6371000     		du = 1585.9235312696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86412898)-sin(-0.86437795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649302798745507-0.64911342947038)×R²
    abs(-0.35319908--0.35358257)×0.000189369275127915×R²
    0.000383489999999986×0.000189369275127915×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189369275127915×40589641000000     		ar = 2515939.62166553m²