Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7269 / 4942
↖ ↑ ↗
← N 57.914848°
W 20.280762°		 ← 1 297.82 m → N 57.914848°
W 20.258789°		 →
↑
1 298.03 m
↓
↑
1 298.03 m
↓
N 57.903174°
W 20.280762°		 ← 1 298.24 m →
1 684 878 m²		 N 57.903174°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443695068359375 y=0.301666259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443695068359375 × 214)
    floor (0.443695068359375 × 16384)
    floor (7269.5)     		tx = 7269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301666259765625 × 214)
    floor (0.301666259765625 × 16384)
    floor (4942.5)     		ty = 4942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7269 / 4942 ti = "14/7269/4942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7269/4942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7269 ÷ 214
    7269 ÷ 16384     		x = 0.44366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4942 ÷ 214
    4942 ÷ 16384     		y = 0.3016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35396607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3016357421875 × 2 - 1) × π
    0.396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24635939012146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35396607} λ = -0.35396607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24635939012146))-π/2
    2×atan(3.47765908294023)-π/2
    2×1.29080055305079-π/2
    2.58160110610157-1.57079632675     		φ = 1.01080478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35396607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01080478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.914848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7269 KachelY 4942 -0.35396607 1.01080478 -20.280762 57.914848
    Oben rechts KachelX + 1 7270 KachelY 4942 -0.35358257 1.01080478 -20.258789 57.914848
    Unten links KachelX 7269 KachelY + 1 4943 -0.35396607 1.01060104 -20.280762 57.903174
    Unten rechts KachelX + 1 7270 KachelY + 1 4943 -0.35358257 1.01060104 -20.258789 57.903174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01080478-1.01060104) × R
    0.000203739999999897 × 6371000     		dl = 1298.02753999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01080478-1.01060104) × R
    0.000203739999999897 × 6371000     		dr = 1298.02753999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35396607--0.35358257) × cos(1.01080478) × R
    0.000383500000000037 × 0.531179035880677 × 6371000     		do = 1297.81831801811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35396607--0.35358257) × cos(1.01060104) × R
    0.000383500000000037 × 0.531351645526015 × 6371000     		du = 1298.24005145346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01080478)-sin(1.01060104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531179035880677-0.531351645526015)×R²
    abs(-0.35358257--0.35396607)×0.000172609645338495×R²
    0.000383500000000037×0.000172609645338495×6371000²
    0.000383500000000037×0.000172609645338495×40589641000000     		ar = 1684877.6353383m²