Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7269 / 3524
↖ ↑ ↗
← N 71.045529°
W 20.280762°		 ← 793.62 m → N 71.045529°
W 20.258789°		 →
↑
793.76 m
↓
↑
793.76 m
↓
N 71.038391°
W 20.280762°		 ← 793.91 m →
630 059 m²		 N 71.038391°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443695068359375 y=0.215118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443695068359375 × 214)
    floor (0.443695068359375 × 16384)
    floor (7269.5)     		tx = 7269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215118408203125 × 214)
    floor (0.215118408203125 × 16384)
    floor (3524.5)     		ty = 3524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7269 / 3524 ti = "14/7269/3524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7269/3524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7269 ÷ 214
    7269 ÷ 16384     		x = 0.44366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3524 ÷ 214
    3524 ÷ 16384     		y = 0.215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35396607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35396607} λ = -0.35396607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79015557941138))-π/2
    2×atan(5.99038437436327)-π/2
    2×1.4053873617481-π/2
    2.81077472349621-1.57079632675     		φ = 1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35396607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7269 KachelY 3524 -0.35396607 1.23997840 -20.280762 71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 7270 KachelY 3524 -0.35358257 1.23997840 -20.258789 71.045529
    Unten links KachelX 7269 KachelY + 1 3525 -0.35396607 1.23985381 -20.280762 71.038391
    Unten rechts KachelX + 1 7270 KachelY + 1 3525 -0.35358257 1.23985381 -20.258789 71.038391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23997840-1.23985381) × R
    0.00012458999999998 × 6371000     		dl = 793.762889999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23997840-1.23985381) × R
    0.00012458999999998 × 6371000     		dr = 793.762889999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35396607--0.35358257) × cos(1.23997840) × R
    0.000383500000000037 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 793.617692040263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35396607--0.35358257) × cos(1.23985381) × R
    0.000383500000000037 × 0.324934545130469 × 6371000     		du = 793.90558802463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23997840)-sin(1.23985381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.324934545130469)×R²
    abs(-0.35358257--0.35396607)×0.000117831833074455×R²
    0.000383500000000037×0.000117831833074455×6371000²
    0.000383500000000037×0.000117831833074455×40589641000000     		ar = 630058.534178972m²