Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72683 / 55395
↖ ↑ ↗
← N 26.816717°
E 19.629822°		 ← 272.58 m → N 26.816717°
E 19.632568°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 26.814266°
E 19.629822°		 ← 272.58 m →
74 292 m²		 N 26.814266°
E 19.632568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554531097412109 y=0.422634124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554531097412109 × 217)
    floor (0.554531097412109 × 131072)
    floor (72683.5)     		tx = 72683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422634124755859 × 217)
    floor (0.422634124755859 × 131072)
    floor (55395.5)     		ty = 55395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72683 / 55395 ti = "17/72683/55395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72683/55395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72683 ÷ 217
    72683 ÷ 131072     		x = 0.554527282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55395 ÷ 217
    55395 ÷ 131072     		y = 0.422630310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554527282714844 × 2 - 1) × π
    0.109054565429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.34260502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422630310058594 × 2 - 1) × π
    0.154739379882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.486128099046989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34260502} λ = 0.34260502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.486128099046989))-π/2
    2×atan(1.62600827298119)-π/2
    2×1.0194181701937-π/2
    2.03883634038741-1.57079632675     		φ = 0.46804001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34260502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.629822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46804001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.816717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72683 KachelY 55395 0.34260502 0.46804001 19.629822 26.816717
    Oben rechts KachelX + 1 72684 KachelY 55395 0.34265296 0.46804001 19.632568 26.816717
    Unten links KachelX 72683 KachelY + 1 55396 0.34260502 0.46799723 19.629822 26.814266
    Unten rechts KachelX + 1 72684 KachelY + 1 55396 0.34265296 0.46799723 19.632568 26.814266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46804001-0.46799723) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dl = 272.551380000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46804001-0.46799723) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dr = 272.551380000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34260502-0.34265296) × cos(0.46804001) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892454227711136 × 6371000     		do = 272.578492914939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34260502-0.34265296) × cos(0.46799723) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892473526576049 × 6371000     		du = 272.584387285036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46804001)-sin(0.46799723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892454227711136-0.892473526576049)×R²
    abs(0.34265296-0.34260502)×1.92988649138082e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92988649138082e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92988649138082e-05×40589641000000     		ar = 74292.4476729346m²