Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7268 / 5598
↖ ↑ ↗
← N 75.590406°
W100.151367°		 ← 304.01 m → N 75.590406°
W100.140381°		 →
↑
304.02 m
↓
↑
304.02 m
↓
N 75.587672°
W100.151367°		 ← 304.06 m →
92 434 m²		 N 75.587672°
W100.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221817016601562 y=0.170852661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221817016601562 × 215)
    floor (0.221817016601562 × 32768)
    floor (7268.5)     		tx = 7268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170852661132812 × 215)
    floor (0.170852661132812 × 32768)
    floor (5598.5)     		ty = 5598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7268 / 5598 ti = "15/7268/5598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7268/5598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7268 ÷ 215
    7268 ÷ 32768     		x = 0.2218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5598 ÷ 215
    5598 ÷ 32768     		y = 0.17083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74797111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17083740234375 × 2 - 1) × π
    0.6583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0681895972077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74797111} λ = -1.74797111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0681895972077))-π/2
    2×atan(7.91048897514954)-π/2
    2×1.44504890038622-π/2
    2.89009780077244-1.57079632675     		φ = 1.31930147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74797111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31930147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.590406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7268 KachelY 5598 -1.74797111 1.31930147 -100.151367 75.590406
    Oben rechts KachelX + 1 7269 KachelY 5598 -1.74777936 1.31930147 -100.140381 75.590406
    Unten links KachelX 7268 KachelY + 1 5599 -1.74797111 1.31925375 -100.151367 75.587672
    Unten rechts KachelX + 1 7269 KachelY + 1 5599 -1.74777936 1.31925375 -100.140381 75.587672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31930147-1.31925375) × R
    4.77200000001954e-05 × 6371000     		dl = 304.024120001245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31930147-1.31925375) × R
    4.77200000001954e-05 × 6371000     		dr = 304.024120001245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74797111--1.74777936) × cos(1.31930147) × R
    0.000191749999999935 × 0.24885206760835 × 6371000     		do = 304.007453233911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74797111--1.74777936) × cos(1.31925375) × R
    0.000191749999999935 × 0.248898286125646 × 6371000     		du = 304.063915588717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31930147)-sin(1.31925375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24885206760835-0.248898286125646)×R²
    abs(-1.74777936--1.74797111)×4.62185172964147e-05×R²
    0.000191749999999935×4.62185172964147e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.62185172964147e-05×40589641000000     		ar = 92434.1814201786m²