Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7268 / 5339
↖ ↑ ↗
← N 76.281728°
W100.151367°		 ← 289.71 m → N 76.281728°
W100.140381°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 76.279122°
W100.151367°		 ← 289.76 m →
83 952 m²		 N 76.279122°
W100.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221817016601562 y=0.162948608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221817016601562 × 215)
    floor (0.221817016601562 × 32768)
    floor (7268.5)     		tx = 7268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162948608398438 × 215)
    floor (0.162948608398438 × 32768)
    floor (5339.5)     		ty = 5339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7268 / 5339 ti = "15/7268/5339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7268/5339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7268 ÷ 215
    7268 ÷ 32768     		x = 0.2218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5339 ÷ 215
    5339 ÷ 32768     		y = 0.162933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74797111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162933349609375 × 2 - 1) × π
    0.67413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11785222521408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74797111} λ = -1.74797111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11785222521408))-π/2
    2×atan(8.31326328240837)-π/2
    2×1.45108181665984-π/2
    2.90216363331969-1.57079632675     		φ = 1.33136731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74797111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33136731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.281728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7268 KachelY 5339 -1.74797111 1.33136731 -100.151367 76.281728
    Oben rechts KachelX + 1 7269 KachelY 5339 -1.74777936 1.33136731 -100.140381 76.281728
    Unten links KachelX 7268 KachelY + 1 5340 -1.74797111 1.33132183 -100.151367 76.279122
    Unten rechts KachelX + 1 7269 KachelY + 1 5340 -1.74777936 1.33132183 -100.140381 76.279122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33136731-1.33132183) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dl = 289.753080000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33136731-1.33132183) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dr = 289.753080000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74797111--1.74777936) × cos(1.33136731) × R
    0.000191749999999935 × 0.237147970039031 × 6371000     		do = 289.709268257406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74797111--1.74777936) × cos(1.33132183) × R
    0.000191749999999935 × 0.237192152410385 × 6371000     		du = 289.76324317641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33136731)-sin(1.33132183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237147970039031-0.237192152410385)×R²
    abs(-1.74777936--1.74797111)×4.41823713544232e-05×R²
    0.000191749999999935×4.41823713544232e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.41823713544232e-05×40589641000000     		ar = 83951.9724960429m²