Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7268 / 10813
↖ ↑ ↗
← S 49.795450°
W 20.302734°		 ← 1 577.14 m → S 49.795450°
W 20.280762°		 →
↑
1 576.95 m
↓
↑
1 576.95 m
↓
S 49.809632°
W 20.302734°		 ← 1 576.68 m →
2 486 707 m²		 S 49.809632°
W 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443634033203125 y=0.660003662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443634033203125 × 214)
    floor (0.443634033203125 × 16384)
    floor (7268.5)     		tx = 7268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660003662109375 × 214)
    floor (0.660003662109375 × 16384)
    floor (10813.5)     		ty = 10813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7268 / 10813 ti = "14/7268/10813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7268/10813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7268 ÷ 214
    7268 ÷ 16384     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10813 ÷ 214
    10813 ÷ 16384     		y = 0.65997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.3199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00514091123334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00514091123334))-π/2
    2×atan(0.365993058636985)-π/2
    2×0.350850886877758-π/2
    0.701701773755516-1.57079632675     		φ = -0.86909455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86909455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.795450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7268 KachelY 10813 -0.35434956 -0.86909455 -20.302734 -49.795450
    Oben rechts KachelX + 1 7269 KachelY 10813 -0.35396607 -0.86909455 -20.280762 -49.795450
    Unten links KachelX 7268 KachelY + 1 10814 -0.35434956 -0.86934207 -20.302734 -49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 7269 KachelY + 1 10814 -0.35396607 -0.86934207 -20.280762 -49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86909455--0.86934207) × R
    0.000247519999999946 × 6371000     		dl = 1576.94991999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86909455--0.86934207) × R
    0.000247519999999946 × 6371000     		dr = 1576.94991999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35396607) × cos(-0.86909455) × R
    0.000383489999999986 × 0.645518344454283 × 6371000     		do = 1577.13996638696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35396607) × cos(-0.86934207) × R
    0.000383489999999986 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 1576.67804761368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86909455)-sin(-0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645518344454283-0.645329282577622)×R²
    abs(-0.35396607--0.35434956)×0.000189061876661456×R²
    0.000383489999999986×0.000189061876661456×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189061876661456×40589641000000     		ar = 2486706.54513162m²