Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72675 / 96867
↖ ↑ ↗
← S 64.889762°
E 19.607849°		 ← 129.58 m → S 64.889762°
E 19.610596°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
S 64.890928°
E 19.607849°		 ← 129.58 m →
16 792 m²		 S 64.890928°
E 19.610596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554470062255859 y=0.739040374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554470062255859 × 217)
    floor (0.554470062255859 × 131072)
    floor (72675.5)     		tx = 72675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739040374755859 × 217)
    floor (0.739040374755859 × 131072)
    floor (96867.5)     		ty = 96867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72675 / 96867 ti = "17/72675/96867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72675/96867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72675 ÷ 217
    72675 ÷ 131072     		x = 0.554466247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96867 ÷ 217
    96867 ÷ 131072     		y = 0.739036560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554466247558594 × 2 - 1) × π
    0.108932495117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.34222153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739036560058594 × 2 - 1) × π
    -0.478073120117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.50191100199598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34222153} λ = 0.34222153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50191100199598))-π/2
    2×atan(0.222704165135325)-π/2
    2×0.219128162221332-π/2
    0.438256324442663-1.57079632675     		φ = -1.13254000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34222153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.607849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13254000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.889762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72675 KachelY 96867 0.34222153 -1.13254000 19.607849 -64.889762
    Oben rechts KachelX + 1 72676 KachelY 96867 0.34226946 -1.13254000 19.610596 -64.889762
    Unten links KachelX 72675 KachelY + 1 96868 0.34222153 -1.13256034 19.607849 -64.890928
    Unten rechts KachelX + 1 72676 KachelY + 1 96868 0.34226946 -1.13256034 19.610596 -64.890928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13254000--1.13256034) × R
    2.0339999999841e-05 × 6371000     		dl = 129.586139998987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13254000--1.13256034) × R
    2.0339999999841e-05 × 6371000     		dr = 129.586139998987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34222153-0.34226946) × cos(-1.13254000) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424361227120776 × 6371000     		do = 129.58380576697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34222153-0.34226946) × cos(-1.13256034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424342809305646 × 6371000     		du = 129.578181665554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13254000)-sin(-1.13256034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424361227120776-0.424342809305646)×R²
    abs(0.34226946-0.34222153)×1.84178151299563e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84178151299563e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84178151299563e-05×40589641000000     		ar = 16791.9007935073m²