Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72671 / 55371
↖ ↑ ↗
← N 26.875531°
E 19.596863°		 ← 272.44 m → N 26.875531°
E 19.599610°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
N 26.873081°
E 19.596863°		 ← 272.44 m →
74 219 m²		 N 26.873081°
E 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554439544677734 y=0.422451019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554439544677734 × 217)
    floor (0.554439544677734 × 131072)
    floor (72671.5)     		tx = 72671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422451019287109 × 217)
    floor (0.422451019287109 × 131072)
    floor (55371.5)     		ty = 55371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72671 / 55371 ti = "17/72671/55371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72671/55371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72671 ÷ 217
    72671 ÷ 131072     		x = 0.554435729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55371 ÷ 217
    55371 ÷ 131072     		y = 0.422447204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554435729980469 × 2 - 1) × π
    0.108871459960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.34202978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422447204589844 × 2 - 1) × π
    0.155105590820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.487278584637871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34202978} λ = 0.34202978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487278584637871))-π/2
    2×atan(1.62788004858889)-π/2
    2×1.01993141476175-π/2
    2.03986282952351-1.57079632675     		φ = 0.46906650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34202978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.596863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46906650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.875531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72671 KachelY 55371 0.34202978 0.46906650 19.596863 26.875531
    Oben rechts KachelX + 1 72672 KachelY 55371 0.34207772 0.46906650 19.599610 26.875531
    Unten links KachelX 72671 KachelY + 1 55372 0.34202978 0.46902374 19.596863 26.873081
    Unten rechts KachelX + 1 72672 KachelY + 1 55372 0.34207772 0.46902374 19.599610 26.873081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46906650-0.46902374) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46906650-0.46902374) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34202978-0.34207772) × cos(0.46906650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891990669015135 × 6371000     		do = 272.436910156864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34202978-0.34207772) × cos(0.46902374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892009998020544 × 6371000     		du = 272.442813732644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46906650)-sin(0.46902374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891990669015135-0.892009998020544)×R²
    abs(0.34207772-0.34202978)×1.93290054086859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93290054086859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93290054086859e-05×40589641000000     		ar = 74219.1460640628m²