Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7267 / 5600
↖ ↑ ↗
← N 75.584937°
W100.162354°		 ← 304.12 m → N 75.584937°
W100.151367°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N 75.582202°
W100.162354°		 ← 304.18 m →
92 507 m²		 N 75.582202°
W100.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221786499023438 y=0.170913696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221786499023438 × 215)
    floor (0.221786499023438 × 32768)
    floor (7267.5)     		tx = 7267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170913696289062 × 215)
    floor (0.170913696289062 × 32768)
    floor (5600.5)     		ty = 5600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7267 / 5600 ti = "15/7267/5600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7267/5600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7267 ÷ 215
    7267 ÷ 32768     		x = 0.221771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5600 ÷ 215
    5600 ÷ 32768     		y = 0.1708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.55645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74816286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1708984375 × 2 - 1) × π
    0.658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06780610201074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74816286} λ = -1.74816286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06780610201074))-π/2
    2×atan(7.90745592223974)-π/2
    2×1.44500117473785-π/2
    2.89000234947569-1.57079632675     		φ = 1.31920602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74816286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.162354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31920602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.584937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7267 KachelY 5600 -1.74816286 1.31920602 -100.162354 75.584937
    Oben rechts KachelX + 1 7268 KachelY 5600 -1.74797111 1.31920602 -100.151367 75.584937
    Unten links KachelX 7267 KachelY + 1 5601 -1.74816286 1.31915828 -100.162354 75.582202
    Unten rechts KachelX + 1 7268 KachelY + 1 5601 -1.74797111 1.31915828 -100.151367 75.582202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31920602-1.31915828) × R
    4.77400000000738e-05 × 6371000     		dl = 304.15154000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31920602-1.31915828) × R
    4.77400000000738e-05 × 6371000     		dr = 304.15154000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74816286--1.74797111) × cos(1.31920602) × R
    0.000191750000000157 × 0.248944513761329 × 6371000     		do = 304.120389083254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74816286--1.74797111) × cos(1.31915828) × R
    0.000191750000000157 × 0.248990750514937 × 6371000     		du = 304.176873716254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31920602)-sin(1.31915828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248944513761329-0.248990750514937)×R²
    abs(-1.74797111--1.74816286)×4.62367536079589e-05×R²
    0.000191750000000157×4.62367536079589e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.62367536079589e-05×40589641000000     		ar = 92507.2746465875m²