Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72664 / 77144
↖ ↑ ↗
← S 30.353916°
E 19.577637°		 ← 263.56 m → S 30.353916°
E 19.580383°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 30.356287°
E 19.577637°		 ← 263.55 m →
69 465 m²		 S 30.356287°
E 19.580383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554386138916016 y=0.588565826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554386138916016 × 217)
    floor (0.554386138916016 × 131072)
    floor (72664.5)     		tx = 72664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588565826416016 × 217)
    floor (0.588565826416016 × 131072)
    floor (77144.5)     		ty = 77144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72664 / 77144 ti = "17/72664/77144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72664/77144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72664 ÷ 217
    72664 ÷ 131072     		x = 0.55438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77144 ÷ 217
    77144 ÷ 131072     		y = 0.58856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55438232421875 × 2 - 1) × π
    0.1087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34169422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.1771240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556451530789612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34169422} λ = 0.34169422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556451530789612))-π/2
    2×atan(0.573239582109714)-π/2
    2×0.520510272618512-π/2
    1.04102054523702-1.57079632675     		φ = -0.52977578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34169422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.577637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52977578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.353916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72664 KachelY 77144 0.34169422 -0.52977578 19.577637 -30.353916
    Oben rechts KachelX + 1 72665 KachelY 77144 0.34174216 -0.52977578 19.580383 -30.353916
    Unten links KachelX 72664 KachelY + 1 77145 0.34169422 -0.52981715 19.577637 -30.356287
    Unten rechts KachelX + 1 72665 KachelY + 1 77145 0.34174216 -0.52981715 19.580383 -30.356287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52977578--0.52981715) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dl = 263.568269999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52977578--0.52981715) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dr = 263.568269999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34169422-0.34174216) × cos(-0.52977578) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862920399510932 × 6371000     		do = 263.558101581855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34169422-0.34174216) × cos(-0.52981715) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862899492862087 × 6371000     		du = 263.55171615316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52977578)-sin(-0.52981715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862920399510932-0.862899492862087)×R²
    abs(0.34174216-0.34169422)×2.09066488457976e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09066488457976e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09066488457976e-05×40589641000000     		ar = 69464.7113899073m²