Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72663 / 55681
↖ ↑ ↗
← N 26.113520°
E 19.574890°		 ← 274.25 m → N 26.113520°
E 19.577637°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 26.111053°
E 19.574890°		 ← 274.25 m →
75 219 m²		 N 26.111053°
E 19.577637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554378509521484 y=0.424816131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554378509521484 × 217)
    floor (0.554378509521484 × 131072)
    floor (72663.5)     		tx = 72663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424816131591797 × 217)
    floor (0.424816131591797 × 131072)
    floor (55681.5)     		ty = 55681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72663 / 55681 ti = "17/72663/55681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72663/55681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72663 ÷ 217
    72663 ÷ 131072     		x = 0.554374694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55681 ÷ 217
    55681 ÷ 131072     		y = 0.424812316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554374694824219 × 2 - 1) × π
    0.108749389648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.34164628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424812316894531 × 2 - 1) × π
    0.150375366210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.472418145755653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34164628} λ = 0.34164628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472418145755653))-π/2
    2×atan(1.60386789408381)-π/2
    2×1.0132816126791-π/2
    2.02656322535821-1.57079632675     		φ = 0.45576690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34164628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.574890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45576690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.113520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72663 KachelY 55681 0.34164628 0.45576690 19.574890 26.113520
    Oben rechts KachelX + 1 72664 KachelY 55681 0.34169422 0.45576690 19.577637 26.113520
    Unten links KachelX 72663 KachelY + 1 55682 0.34164628 0.45572385 19.574890 26.111053
    Unten rechts KachelX + 1 72664 KachelY + 1 55682 0.34169422 0.45572385 19.577637 26.111053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45576690-0.45572385) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45576690-0.45572385) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34164628-0.34169422) × cos(0.45576690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897923740413503 × 6371000     		do = 274.249022879182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34164628-0.34169422) × cos(0.45572385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897942688084607 × 6371000     		du = 274.25480998565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45576690)-sin(0.45572385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897923740413503-0.897942688084607)×R²
    abs(0.34169422-0.34164628)×1.89476711032199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89476711032199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89476711032199e-05×40589641000000     		ar = 75219.4982220262m²