Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72657 / 77123
↖ ↑ ↗
← S 30.304132°
E 19.558411°		 ← 263.69 m → S 30.304132°
E 19.561157°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 30.306503°
E 19.558411°		 ← 263.69 m →
69 534 m²		 S 30.306503°
E 19.561157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554332733154297 y=0.588405609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554332733154297 × 217)
    floor (0.554332733154297 × 131072)
    floor (72657.5)     		tx = 72657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588405609130859 × 217)
    floor (0.588405609130859 × 131072)
    floor (77123.5)     		ty = 77123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72657 / 77123 ti = "17/72657/77123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72657/77123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72657 ÷ 217
    72657 ÷ 131072     		x = 0.554328918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77123 ÷ 217
    77123 ÷ 131072     		y = 0.588401794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554328918457031 × 2 - 1) × π
    0.108657836914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.34135866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588401794433594 × 2 - 1) × π
    -0.176803588867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.555444855897591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34135866} λ = 0.34135866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555444855897591))-π/2
    2×atan(0.5738169385605)-π/2
    2×0.520944723209424-π/2
    1.04188944641885-1.57079632675     		φ = -0.52890688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34135866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.558411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52890688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.304132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72657 KachelY 77123 0.34135866 -0.52890688 19.558411 -30.304132
    Oben rechts KachelX + 1 72658 KachelY 77123 0.34140660 -0.52890688 19.561157 -30.304132
    Unten links KachelX 72657 KachelY + 1 77124 0.34135866 -0.52894827 19.558411 -30.306503
    Unten rechts KachelX + 1 72658 KachelY + 1 77124 0.34140660 -0.52894827 19.561157 -30.306503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52890688--0.52894827) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52890688--0.52894827) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34135866-0.34140660) × cos(-0.52890688) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863359163521723 × 6371000     		do = 263.692111404536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34135866-0.34140660) × cos(-0.52894827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863338277806753 × 6371000     		du = 263.685732369586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52890688)-sin(-0.52894827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863359163521723-0.863338277806753)×R²
    abs(0.34140660-0.34135866)×2.08857149698316e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08857149698316e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08857149698316e-05×40589641000000     		ar = 69533.6322122816m²