Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72654 / 77142
↖ ↑ ↗
← S 30.349176°
E 19.550171°		 ← 263.57 m → S 30.349176°
E 19.552918°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 30.351547°
E 19.550171°		 ← 263.56 m →
69 468 m²		 S 30.351547°
E 19.552918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554309844970703 y=0.588550567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554309844970703 × 217)
    floor (0.554309844970703 × 131072)
    floor (72654.5)     		tx = 72654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588550567626953 × 217)
    floor (0.588550567626953 × 131072)
    floor (77142.5)     		ty = 77142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72654 / 77142 ti = "17/72654/77142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72654/77142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72654 ÷ 217
    72654 ÷ 131072     		x = 0.554306030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77142 ÷ 217
    77142 ÷ 131072     		y = 0.588546752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554306030273438 × 2 - 1) × π
    0.108612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34121485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588546752929688 × 2 - 1) × π
    -0.177093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556355656990372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34121485} λ = 0.34121485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556355656990372))-π/2
    2×atan(0.573294543400957)-π/2
    2×0.520551639349076-π/2
    1.04110327869815-1.57079632675     		φ = -0.52969305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34121485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.550171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52969305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.349176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72654 KachelY 77142 0.34121485 -0.52969305 19.550171 -30.349176
    Oben rechts KachelX + 1 72655 KachelY 77142 0.34126279 -0.52969305 19.552918 -30.349176
    Unten links KachelX 72654 KachelY + 1 77143 0.34121485 -0.52973442 19.550171 -30.351547
    Unten rechts KachelX + 1 72655 KachelY + 1 77143 0.34126279 -0.52973442 19.552918 -30.351547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52969305--0.52973442) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dl = 263.568270000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52969305--0.52973442) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dr = 263.568270000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34121485-0.34126279) × cos(-0.52969305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.862962203325299 × 6371000     		do = 263.570869542487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34121485-0.34126279) × cos(-0.52973442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.862941299629868 × 6371000     		du = 263.564485015841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52969305)-sin(-0.52973442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862962203325299-0.862941299629868)×R²
    abs(0.34126279-0.34121485)×2.09036954305075e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09036954305075e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09036954305075e-05×40589641000000     		ar = 69468.0767382884m²