Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72652 / 95817
↖ ↑ ↗
← S 63.637723°
E 19.544678°		 ← 135.59 m → S 63.637723°
E 19.547424°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
S 63.638943°
E 19.544678°		 ← 135.59 m →
18 383 m²		 S 63.638943°
E 19.547424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554294586181641 y=0.731029510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554294586181641 × 217)
    floor (0.554294586181641 × 131072)
    floor (72652.5)     		tx = 72652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731029510498047 × 217)
    floor (0.731029510498047 × 131072)
    floor (95817.5)     		ty = 95817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72652 / 95817 ti = "17/72652/95817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72652/95817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72652 ÷ 217
    72652 ÷ 131072     		x = 0.554290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95817 ÷ 217
    95817 ÷ 131072     		y = 0.731025695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554290771484375 × 2 - 1) × π
    0.10858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34111898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731025695800781 × 2 - 1) × π
    -0.462051391601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.45157725739492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34111898} λ = 0.34111898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45157725739492))-π/2
    2×atan(0.234200601993981)-π/2
    2×0.230054263994058-π/2
    0.460108527988117-1.57079632675     		φ = -1.11068780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34111898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.544678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11068780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.637723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72652 KachelY 95817 0.34111898 -1.11068780 19.544678 -63.637723
    Oben rechts KachelX + 1 72653 KachelY 95817 0.34116691 -1.11068780 19.547424 -63.637723
    Unten links KachelX 72652 KachelY + 1 95818 0.34111898 -1.11070908 19.544678 -63.638943
    Unten rechts KachelX + 1 72653 KachelY + 1 95818 0.34116691 -1.11070908 19.547424 -63.638943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11068780--1.11070908) × R
    2.12799999999014e-05 × 6371000     		dl = 135.574879999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11068780--1.11070908) × R
    2.12799999999014e-05 × 6371000     		dr = 135.574879999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34111898-0.34116691) × cos(-1.11068780) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.44404535005652 × 6371000     		do = 135.594589505245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34111898-0.34116691) × cos(-1.11070908) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.444026282984222 × 6371000     		du = 135.588767145342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11068780)-sin(-1.11070908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44404535005652-0.444026282984222)×R²
    abs(0.34116691-0.34111898)×1.90670722978736e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90670722978736e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90670722978736e-05×40589641000000     		ar = 18382.8255184618m²