Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7265 / 5599
↖ ↑ ↗
← N 75.587672°
W100.184326°		 ← 304.06 m → N 75.587672°
W100.173340°		 →
↑
304.09 m
↓
↑
304.09 m
↓
N 75.584937°
W100.184326°		 ← 304.12 m →
92 471 m²		 N 75.584937°
W100.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221725463867188 y=0.170883178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221725463867188 × 215)
    floor (0.221725463867188 × 32768)
    floor (7265.5)     		tx = 7265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170883178710938 × 215)
    floor (0.170883178710938 × 32768)
    floor (5599.5)     		ty = 5599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7265 / 5599 ti = "15/7265/5599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7265/5599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7265 ÷ 215
    7265 ÷ 32768     		x = 0.221710205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5599 ÷ 215
    5599 ÷ 32768     		y = 0.170867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.55657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74854635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170867919921875 × 2 - 1) × π
    0.65826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06799784960922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74854635} λ = -1.74854635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06799784960922))-π/2
    2×atan(7.90897230329949)-π/2
    2×1.44502503977786-π/2
    2.89005007955571-1.57079632675     		φ = 1.31925375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74854635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31925375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.587672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7265 KachelY 5599 -1.74854635 1.31925375 -100.184326 75.587672
    Oben rechts KachelX + 1 7266 KachelY 5599 -1.74835460 1.31925375 -100.173340 75.587672
    Unten links KachelX 7265 KachelY + 1 5600 -1.74854635 1.31920602 -100.184326 75.584937
    Unten rechts KachelX + 1 7266 KachelY + 1 5600 -1.74835460 1.31920602 -100.173340 75.584937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31925375-1.31920602) × R
    4.77299999999126e-05 × 6371000     		dl = 304.087829999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31925375-1.31920602) × R
    4.77299999999126e-05 × 6371000     		dr = 304.087829999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74854635--1.74835460) × cos(1.31925375) × R
    0.000191749999999935 × 0.248898286125646 × 6371000     		do = 304.063915588717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74854635--1.74835460) × cos(1.31920602) × R
    0.000191749999999935 × 0.248944513761329 × 6371000     		du = 304.120389082901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31925375)-sin(1.31920602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248898286125646-0.248944513761329)×R²
    abs(-1.74835460--1.74854635)×4.62276356828495e-05×R²
    0.000191749999999935×4.62276356828495e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.62276356828495e-05×40589641000000     		ar = 92470.7227411879m²