Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7265 / 5333
↖ ↑ ↗
← N 76.297351°
W100.184326°		 ← 289.39 m → N 76.297351°
W100.173340°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 76.294748°
W100.184326°		 ← 289.44 m →
83 766 m²		 N 76.294748°
W100.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221725463867188 y=0.162765502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221725463867188 × 215)
    floor (0.221725463867188 × 32768)
    floor (7265.5)     		tx = 7265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162765502929688 × 215)
    floor (0.162765502929688 × 32768)
    floor (5333.5)     		ty = 5333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7265 / 5333 ti = "15/7265/5333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7265/5333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7265 ÷ 215
    7265 ÷ 32768     		x = 0.221710205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5333 ÷ 215
    5333 ÷ 32768     		y = 0.162750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.55657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74854635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162750244140625 × 2 - 1) × π
    0.67449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11900271080496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74854635} λ = -1.74854635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11900271080496))-π/2
    2×atan(8.32283307592719)-π/2
    2×1.451218158115-π/2
    2.90243631622999-1.57079632675     		φ = 1.33163999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74854635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33163999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.297351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7265 KachelY 5333 -1.74854635 1.33163999 -100.184326 76.297351
    Oben rechts KachelX + 1 7266 KachelY 5333 -1.74835460 1.33163999 -100.173340 76.297351
    Unten links KachelX 7265 KachelY + 1 5334 -1.74854635 1.33159456 -100.184326 76.294748
    Unten rechts KachelX + 1 7266 KachelY + 1 5334 -1.74835460 1.33159456 -100.173340 76.294748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33163999-1.33159456) × R
    4.54299999999019e-05 × 6371000     		dl = 289.434529999375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33163999-1.33159456) × R
    4.54299999999019e-05 × 6371000     		dr = 289.434529999375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74854635--1.74835460) × cos(1.33163999) × R
    0.000191749999999935 × 0.236883059820736 × 6371000     		do = 289.385643537012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74854635--1.74835460) × cos(1.33159456) × R
    0.000191749999999935 × 0.236927196555339 × 6371000     		du = 289.439562704369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33163999)-sin(1.33159456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236883059820736-0.236927196555339)×R²
    abs(-1.74835460--1.74854635)×4.41367346028787e-05×R²
    0.000191749999999935×4.41367346028787e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.41367346028787e-05×40589641000000     		ar = 83766.0007740282m²