Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7265 / 5023
↖ ↑ ↗
← N 77.081241°
W100.184326°		 ← 273.12 m → N 77.081241°
W100.173340°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
N 77.078784°
W100.184326°		 ← 273.17 m →
74 620 m²		 N 77.078784°
W100.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221725463867188 y=0.153305053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221725463867188 × 215)
    floor (0.221725463867188 × 32768)
    floor (7265.5)     		tx = 7265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153305053710938 × 215)
    floor (0.153305053710938 × 32768)
    floor (5023.5)     		ty = 5023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7265 / 5023 ti = "15/7265/5023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7265/5023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7265 ÷ 215
    7265 ÷ 32768     		x = 0.221710205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5023 ÷ 215
    5023 ÷ 32768     		y = 0.153289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.55657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74854635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153289794921875 × 2 - 1) × π
    0.69342041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17844446633383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74854635} λ = -1.74854635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17844446633383))-π/2
    2×atan(8.83255622860415)-π/2
    2×1.45805888103915-π/2
    2.91611776207831-1.57079632675     		φ = 1.34532144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74854635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34532144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.081241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7265 KachelY 5023 -1.74854635 1.34532144 -100.184326 77.081241
    Oben rechts KachelX + 1 7266 KachelY 5023 -1.74835460 1.34532144 -100.173340 77.081241
    Unten links KachelX 7265 KachelY + 1 5024 -1.74854635 1.34527856 -100.184326 77.078784
    Unten rechts KachelX + 1 7266 KachelY + 1 5024 -1.74835460 1.34527856 -100.173340 77.078784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34532144-1.34527856) × R
    4.28800000000784e-05 × 6371000     		dl = 273.1884800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34532144-1.34527856) × R
    4.28800000000784e-05 × 6371000     		dr = 273.1884800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74854635--1.74835460) × cos(1.34532144) × R
    0.000191749999999935 × 0.223569253806346 × 6371000     		do = 273.120975542951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74854635--1.74835460) × cos(1.34527856) × R
    0.000191749999999935 × 0.223611048224246 × 6371000     		du = 273.172033244289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34532144)-sin(1.34527856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223569253806346-0.223611048224246)×R²
    abs(-1.74835460--1.74854635)×4.17944179001706e-05×R²
    0.000191749999999935×4.17944179001706e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.17944179001706e-05×40589641000000     		ar = 74620.4783642872m²