Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7265 / 4767
↖ ↑ ↗
← N 59.899958°
W 20.368652°		 ← 1 225.33 m → N 59.899958°
W 20.346680°		 →
↑
1 225.53 m
↓
↑
1 225.53 m
↓
N 59.888937°
W 20.368652°		 ← 1 225.74 m →
1 501 925 m²		 N 59.888937°
W 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443450927734375 y=0.290985107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443450927734375 × 214)
    floor (0.443450927734375 × 16384)
    floor (7265.5)     		tx = 7265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290985107421875 × 214)
    floor (0.290985107421875 × 16384)
    floor (4767.5)     		ty = 4767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7265 / 4767 ti = "14/7265/4767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7265/4767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7265 ÷ 214
    7265 ÷ 16384     		x = 0.44342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4767 ÷ 214
    4767 ÷ 16384     		y = 0.29095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35550005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29095458984375 × 2 - 1) × π
    0.4180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31347104958954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35550005} λ = -0.35550005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31347104958954))-π/2
    2×atan(3.71906037714083)-π/2
    2×1.308123910126-π/2
    2.616247820252-1.57079632675     		φ = 1.04545149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35550005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.368652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04545149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.899958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7265 KachelY 4767 -0.35550005 1.04545149 -20.368652 59.899958
    Oben rechts KachelX + 1 7266 KachelY 4767 -0.35511655 1.04545149 -20.346680 59.899958
    Unten links KachelX 7265 KachelY + 1 4768 -0.35550005 1.04525913 -20.368652 59.888937
    Unten rechts KachelX + 1 7266 KachelY + 1 4768 -0.35511655 1.04525913 -20.346680 59.888937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04545149-1.04525913) × R
    0.000192360000000003 × 6371000     		dl = 1225.52556000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04545149-1.04525913) × R
    0.000192360000000003 × 6371000     		dr = 1225.52556000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35550005--0.35511655) × cos(1.04545149) × R
    0.000383500000000037 × 0.501511370402236 × 6371000     		do = 1225.33194880944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35550005--0.35511655) × cos(1.04525913) × R
    0.000383500000000037 × 0.501677781579305 × 6371000     		du = 1225.73853766053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04545149)-sin(1.04525913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501511370402236-0.501677781579305)×R²
    abs(-0.35511655--0.35550005)×0.000166411177068837×R²
    0.000383500000000037×0.000166411177068837×6371000²
    0.000383500000000037×0.000166411177068837×40589641000000     		ar = 1501924.76989571m²