Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7264 / 5024
↖ ↑ ↗
← N 77.078784°
W100.195313°		 ← 273.17 m → N 77.078784°
W100.184326°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
N 77.076327°
W100.195313°		 ← 273.22 m →
74 634 m²		 N 77.076327°
W100.184326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221694946289062 y=0.153335571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221694946289062 × 215)
    floor (0.221694946289062 × 32768)
    floor (7264.5)     		tx = 7264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153335571289062 × 215)
    floor (0.153335571289062 × 32768)
    floor (5024.5)     		ty = 5024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7264 / 5024 ti = "15/7264/5024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7264/5024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7264 ÷ 215
    7264 ÷ 32768     		x = 0.2216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5024 ÷ 215
    5024 ÷ 32768     		y = 0.1533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    0.693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17825271873535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74873810} λ = -1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17825271873535))-π/2
    2×atan(8.83086276952242)-π/2
    2×1.45803744460186-π/2
    2.91607488920371-1.57079632675     		φ = 1.34527856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34527856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.078784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7264 KachelY 5024 -1.74873810 1.34527856 -100.195313 77.078784
    Oben rechts KachelX + 1 7265 KachelY 5024 -1.74854635 1.34527856 -100.184326 77.078784
    Unten links KachelX 7264 KachelY + 1 5025 -1.74873810 1.34523568 -100.195313 77.076327
    Unten rechts KachelX + 1 7265 KachelY + 1 5025 -1.74854635 1.34523568 -100.184326 77.076327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34527856-1.34523568) × R
    4.28799999998564e-05 × 6371000     		dl = 273.188479999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34527856-1.34523568) × R
    4.28799999998564e-05 × 6371000     		dr = 273.188479999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74873810--1.74854635) × cos(1.34527856) × R
    0.000191749999999935 × 0.223611048224246 × 6371000     		do = 273.172033244289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74873810--1.74854635) × cos(1.34523568) × R
    0.000191749999999935 × 0.223652842230994 × 6371000     		du = 273.223090443347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34527856)-sin(1.34523568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223611048224246-0.223652842230994)×R²
    abs(-1.74854635--1.74873810)×4.17940067476141e-05×R²
    0.000191749999999935×4.17940067476141e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.17940067476141e-05×40589641000000     		ar = 74634.4266710998m²