Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72638 / 95823
↖ ↑ ↗
← S 63.645040°
E 19.506226°		 ← 135.59 m → S 63.645040°
E 19.508972°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
S 63.646259°
E 19.506226°		 ← 135.58 m →
18 382 m²		 S 63.646259°
E 19.508972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554187774658203 y=0.731075286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554187774658203 × 217)
    floor (0.554187774658203 × 131072)
    floor (72638.5)     		tx = 72638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731075286865234 × 217)
    floor (0.731075286865234 × 131072)
    floor (95823.5)     		ty = 95823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72638 / 95823 ti = "17/72638/95823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72638/95823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72638 ÷ 217
    72638 ÷ 131072     		x = 0.554183959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95823 ÷ 217
    95823 ÷ 131072     		y = 0.731071472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554183959960938 × 2 - 1) × π
    0.108367919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34044786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731071472167969 × 2 - 1) × π
    -0.462142944335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.45186487879264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34044786} λ = 0.34044786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45186487879264))-π/2
    2×atan(0.234133250575807)-π/2
    2×0.229990413749738-π/2
    0.459980827499476-1.57079632675     		φ = -1.11081550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34044786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.506226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11081550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.645040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72638 KachelY 95823 0.34044786 -1.11081550 19.506226 -63.645040
    Oben rechts KachelX + 1 72639 KachelY 95823 0.34049580 -1.11081550 19.508972 -63.645040
    Unten links KachelX 72638 KachelY + 1 95824 0.34044786 -1.11083678 19.506226 -63.646259
    Unten rechts KachelX + 1 72639 KachelY + 1 95824 0.34049580 -1.11083678 19.508972 -63.646259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11081550--1.11083678) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dl = 135.574880000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11081550--1.11083678) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dr = 135.574880000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34044786-0.34049580) × cos(-1.11081550) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443930926685602 × 6371000     		do = 135.587931791904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34044786-0.34049580) × cos(-1.11083678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443911858406812 × 6371000     		du = 135.582107848744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11081550)-sin(-1.11083678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443930926685602-0.443911858406812)×R²
    abs(0.34049580-0.34044786)×1.90682787903906e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90682787903906e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90682787903906e-05×40589641000000     		ar = 18381.9227927307m²