Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72632 / 77176
↖ ↑ ↗
← S 30.429729°
E 19.489746°		 ← 263.35 m → S 30.429729°
E 19.492493°		 →
↑
263.31 m
↓
↑
263.31 m
↓
S 30.432098°
E 19.489746°		 ← 263.35 m →
69 344 m²		 S 30.432098°
E 19.492493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554141998291016 y=0.588809967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554141998291016 × 217)
    floor (0.554141998291016 × 131072)
    floor (72632.5)     		tx = 72632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588809967041016 × 217)
    floor (0.588809967041016 × 131072)
    floor (77176.5)     		ty = 77176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72632 / 77176 ti = "17/72632/77176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72632/77176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72632 ÷ 217
    72632 ÷ 131072     		x = 0.55413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77176 ÷ 217
    77176 ÷ 131072     		y = 0.58880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55413818359375 × 2 - 1) × π
    0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58880615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.557985511577454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34016024} λ = 0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557985511577454))-π/2
    2×atan(0.572360917703385)-π/2
    2×0.519848677616426-π/2
    1.03969735523285-1.57079632675     		φ = -0.53109897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53109897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.429729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72632 KachelY 77176 0.34016024 -0.53109897 19.489746 -30.429729
    Oben rechts KachelX + 1 72633 KachelY 77176 0.34020818 -0.53109897 19.492493 -30.429729
    Unten links KachelX 72632 KachelY + 1 77177 0.34016024 -0.53114030 19.489746 -30.432098
    Unten rechts KachelX + 1 72633 KachelY + 1 77177 0.34020818 -0.53114030 19.492493 -30.432098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53109897--0.53114030) × R
    4.13300000000616e-05 × 6371000     		dl = 263.313430000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53109897--0.53114030) × R
    4.13300000000616e-05 × 6371000     		dr = 263.313430000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34016024-0.34020818) × cos(-0.53109897) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862250983629484 × 6371000     		do = 263.353644740895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34016024-0.34020818) × cos(-0.53114030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.86223005002362 × 6371000     		du = 263.347251078833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53109897)-sin(-0.53114030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862250983629484-0.86223005002362)×R²
    abs(0.34020818-0.34016024)×2.0933605864526e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0933605864526e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0933605864526e-05×40589641000000     		ar = 69343.7097411939m²