Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7263 / 10799
↖ ↑ ↗
← S 49.596470°
W 20.412598°		 ← 1 583.65 m → S 49.596470°
W 20.390625°		 →
↑
1 583.38 m
↓
↑
1 583.38 m
↓
S 49.610710°
W 20.412598°		 ← 1 583.19 m →
2 507 164 m²		 S 49.610710°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443328857421875 y=0.659149169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443328857421875 × 214)
    floor (0.443328857421875 × 16384)
    floor (7263.5)     		tx = 7263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659149169921875 × 214)
    floor (0.659149169921875 × 16384)
    floor (10799.5)     		ty = 10799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7263 / 10799 ti = "14/7263/10799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7263/10799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7263 ÷ 214
    7263 ÷ 16384     		x = 0.44329833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10799 ÷ 214
    10799 ÷ 16384     		y = 0.65911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.1134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35626704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.3182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.999771978475891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35626704} λ = -0.35626704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999771978475891))-π/2
    2×atan(0.367963335166761)-π/2
    2×0.352587313354758-π/2
    0.705174626709516-1.57079632675     		φ = -0.86562170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35626704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.412598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86562170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.596470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7263 KachelY 10799 -0.35626704 -0.86562170 -20.412598 -49.596470
    Oben rechts KachelX + 1 7264 KachelY 10799 -0.35588354 -0.86562170 -20.390625 -49.596470
    Unten links KachelX 7263 KachelY + 1 10800 -0.35626704 -0.86587023 -20.412598 -49.610710
    Unten rechts KachelX + 1 7264 KachelY + 1 10800 -0.35588354 -0.86587023 -20.390625 -49.610710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86562170--0.86587023) × R
    0.000248529999999914 × 6371000     		dl = 1583.38462999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86562170--0.86587023) × R
    0.000248529999999914 × 6371000     		dr = 1583.38462999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35626704--0.35588354) × cos(-0.86562170) × R
    0.000383499999999981 × 0.648166817438432 × 6371000     		do = 1583.65204946067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35626704--0.35588354) × cos(-0.86587023) × R
    0.000383499999999981 × 0.647977542231262 × 6371000     		du = 1583.18959741641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86562170)-sin(-0.86587023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648166817438432-0.647977542231262)×R²
    abs(-0.35588354--0.35626704)×0.000189275207170603×R²
    0.000383499999999981×0.000189275207170603×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189275207170603×40589641000000     		ar = 2507164.20755973m²