Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7262 / 3506
↖ ↑ ↗
← N 71.173578°
W 20.434570°		 ← 788.43 m → N 71.173578°
W 20.412598°		 →
↑
788.54 m
↓
↑
788.54 m
↓
N 71.166486°
W 20.434570°		 ← 788.72 m →
621 821 m²		 N 71.166486°
W 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443267822265625 y=0.214019775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443267822265625 × 214)
    floor (0.443267822265625 × 16384)
    floor (7262.5)     		tx = 7262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214019775390625 × 214)
    floor (0.214019775390625 × 16384)
    floor (3506.5)     		ty = 3506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7262 / 3506 ti = "14/7262/3506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7262/3506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7262 ÷ 214
    7262 ÷ 16384     		x = 0.4432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3506 ÷ 214
    3506 ÷ 16384     		y = 0.2139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2139892578125 × 2 - 1) × π
    0.572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79705849295667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35665053} λ = -0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79705849295667))-π/2
    2×atan(6.03187853032116)-π/2
    2×1.40650480003689-π/2
    2.81300960007377-1.57079632675     		φ = 1.24221327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24221327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.173578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7262 KachelY 3506 -0.35665053 1.24221327 -20.434570 71.173578
    Oben rechts KachelX + 1 7263 KachelY 3506 -0.35626704 1.24221327 -20.412598 71.173578
    Unten links KachelX 7262 KachelY + 1 3507 -0.35665053 1.24208950 -20.434570 71.166486
    Unten rechts KachelX + 1 7263 KachelY + 1 3507 -0.35626704 1.24208950 -20.412598 71.166486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24221327-1.24208950) × R
    0.000123769999999856 × 6371000     		dl = 788.538669999086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24221327-1.24208950) × R
    0.000123769999999856 × 6371000     		dr = 788.538669999086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35665053--0.35626704) × cos(1.24221327) × R
    0.000383490000000042 × 0.322702215277938 × 6371000     		do = 788.430825132908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35665053--0.35626704) × cos(1.24208950) × R
    0.000383490000000042 × 0.32281936117826 × 6371000     		du = 788.717037729163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24221327)-sin(1.24208950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322702215277938-0.32281936117826)×R²
    abs(-0.35626704--0.35665053)×0.000117145900322191×R²
    0.000383490000000042×0.000117145900322191×6371000²
    0.000383490000000042×0.000117145900322191×40589641000000     		ar = 621821.039880331m²