Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72612 / 96110
↖ ↑ ↗
← S 63.992826°
E 19.434814°		 ← 133.92 m → S 63.992826°
E 19.437561°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
S 63.994031°
E 19.434814°		 ← 133.92 m →
17 935 m²		 S 63.994031°
E 19.437561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553989410400391 y=0.733264923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553989410400391 × 217)
    floor (0.553989410400391 × 131072)
    floor (72612.5)     		tx = 72612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733264923095703 × 217)
    floor (0.733264923095703 × 131072)
    floor (96110.5)     		ty = 96110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72612 / 96110 ti = "17/72612/96110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72612/96110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72612 ÷ 217
    72612 ÷ 131072     		x = 0.553985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96110 ÷ 217
    96110 ÷ 131072     		y = 0.733261108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553985595703125 × 2 - 1) × π
    0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733261108398438 × 2 - 1) × π
    -0.466522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4656227689836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33920150} λ = 0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4656227689836))-π/2
    2×atan(0.230934128072929)-π/2
    2×0.226955402196012-π/2
    0.453910804392024-1.57079632675     		φ = -1.11688552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11688552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.992826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72612 KachelY 96110 0.33920150 -1.11688552 19.434814 -63.992826
    Oben rechts KachelX + 1 72613 KachelY 96110 0.33924944 -1.11688552 19.437561 -63.992826
    Unten links KachelX 72612 KachelY + 1 96111 0.33920150 -1.11690654 19.434814 -63.994031
    Unten rechts KachelX + 1 72613 KachelY + 1 96111 0.33924944 -1.11690654 19.437561 -63.994031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11688552--1.11690654) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dl = 133.918419999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11688552--1.11690654) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dr = 133.918419999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33920150-0.33924944) × cos(-1.11688552) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438483673514762 × 6371000     		do = 133.924200461232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33920150-0.33924944) × cos(-1.11690654) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438464781920863 × 6371000     		du = 133.918430482186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11688552)-sin(-1.11690654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438483673514762-0.438464781920863)×R²
    abs(0.33924944-0.33920150)×1.88915938987289e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88915938987289e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88915938987289e-05×40589641000000     		ar = 17934.5309728705m²