Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72610 / 96110
↖ ↑ ↗
← S 63.992826°
E 19.429321°		 ← 133.90 m → S 63.992826°
E 19.432068°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
S 63.994031°
E 19.429321°		 ← 133.89 m →
17 931 m²		 S 63.994031°
E 19.432068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553974151611328 y=0.733264923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553974151611328 × 217)
    floor (0.553974151611328 × 131072)
    floor (72610.5)     		tx = 72610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733264923095703 × 217)
    floor (0.733264923095703 × 131072)
    floor (96110.5)     		ty = 96110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72610 / 96110 ti = "17/72610/96110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72610/96110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72610 ÷ 217
    72610 ÷ 131072     		x = 0.553970336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96110 ÷ 217
    96110 ÷ 131072     		y = 0.733261108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553970336914062 × 2 - 1) × π
    0.107940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33910563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733261108398438 × 2 - 1) × π
    -0.466522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4656227689836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33910563} λ = 0.33910563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4656227689836))-π/2
    2×atan(0.230934128072929)-π/2
    2×0.226955402196012-π/2
    0.453910804392024-1.57079632675     		φ = -1.11688552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33910563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.429321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11688552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.992826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72610 KachelY 96110 0.33910563 -1.11688552 19.429321 -63.992826
    Oben rechts KachelX + 1 72611 KachelY 96110 0.33915356 -1.11688552 19.432068 -63.992826
    Unten links KachelX 72610 KachelY + 1 96111 0.33910563 -1.11690654 19.429321 -63.994031
    Unten rechts KachelX + 1 72611 KachelY + 1 96111 0.33915356 -1.11690654 19.432068 -63.994031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11688552--1.11690654) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dl = 133.918419999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11688552--1.11690654) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dr = 133.918419999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33910563-0.33915356) × cos(-1.11688552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438483673514762 × 6371000     		do = 133.896264666407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33910563-0.33915356) × cos(-1.11690654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438464781920863 × 6371000     		du = 133.890495890944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11688552)-sin(-1.11690654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438483673514762-0.438464781920863)×R²
    abs(0.33915356-0.33910563)×1.88915938987289e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88915938987289e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88915938987289e-05×40589641000000     		ar = 17930.789935957m²