Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7260 / 10780
↖ ↑ ↗
← S 49.325122°
W 20.478515°		 ← 1 592.40 m → S 49.325122°
W 20.456543°		 →
↑
1 592.24 m
↓
↑
1 592.24 m
↓
S 49.339441°
W 20.478515°		 ← 1 591.94 m →
2 535 121 m²		 S 49.339441°
W 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443145751953125 y=0.657989501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443145751953125 × 214)
    floor (0.443145751953125 × 16384)
    floor (7260.5)     		tx = 7260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657989501953125 × 214)
    floor (0.657989501953125 × 16384)
    floor (10780.5)     		ty = 10780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7260 / 10780 ti = "14/7260/10780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7260/10780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7260 ÷ 214
    7260 ÷ 16384     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10780 ÷ 214
    10780 ÷ 16384     		y = 0.657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.31591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.992485569733643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992485569733643))-π/2
    2×atan(0.370654258105687)-π/2
    2×0.354955272060938-π/2
    0.709910544121876-1.57079632675     		φ = -0.86088578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86088578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.325122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7260 KachelY 10780 -0.35741752 -0.86088578 -20.478515 -49.325122
    Oben rechts KachelX + 1 7261 KachelY 10780 -0.35703403 -0.86088578 -20.456543 -49.325122
    Unten links KachelX 7260 KachelY + 1 10781 -0.35741752 -0.86113570 -20.478515 -49.339441
    Unten rechts KachelX + 1 7261 KachelY + 1 10781 -0.35703403 -0.86113570 -20.456543 -49.339441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86088578--0.86113570) × R
    0.000249919999999904 × 6371000     		dl = 1592.24031999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86088578--0.86113570) × R
    0.000249919999999904 × 6371000     		dr = 1592.24031999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35703403) × cos(-0.86088578) × R
    0.000383489999999986 × 0.651765930513245 × 6371000     		do = 1592.40416104802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35703403) × cos(-0.86113570) × R
    0.000383489999999986 × 0.651576365788787 × 6371000     		du = 1591.94101370956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86088578)-sin(-0.86113570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651765930513245-0.651576365788787)×R²
    abs(-0.35703403--0.35741752)×0.000189564724458302×R²
    0.000383489999999986×0.000189564724458302×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189564724458302×40589641000000     		ar = 2535121.4032174m²