Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72596 / 55874
↖ ↑ ↗
← N 25.636574°
E 19.390869°		 ← 275.36 m → N 25.636574°
E 19.393616°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
N 25.634098°
E 19.390869°		 ← 275.36 m →
75 822 m²		 N 25.634098°
E 19.393616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553867340087891 y=0.426288604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553867340087891 × 217)
    floor (0.553867340087891 × 131072)
    floor (72596.5)     		tx = 72596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426288604736328 × 217)
    floor (0.426288604736328 × 131072)
    floor (55874.5)     		ty = 55874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72596 / 55874 ti = "17/72596/55874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72596/55874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72596 ÷ 217
    72596 ÷ 131072     		x = 0.553863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55874 ÷ 217
    55874 ÷ 131072     		y = 0.426284790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553863525390625 × 2 - 1) × π
    0.10772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33843451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426284790039062 × 2 - 1) × π
    0.147430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.463166324128983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33843451} λ = 0.33843451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463166324128983))-π/2
    2×atan(1.58909762571559)-π/2
    2×1.00911947668667-π/2
    2.01823895337335-1.57079632675     		φ = 0.44744263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33843451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.390869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44744263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.636574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72596 KachelY 55874 0.33843451 0.44744263 19.390869 25.636574
    Oben rechts KachelX + 1 72597 KachelY 55874 0.33848245 0.44744263 19.393616 25.636574
    Unten links KachelX 72596 KachelY + 1 55875 0.33843451 0.44739941 19.390869 25.634098
    Unten rechts KachelX + 1 72597 KachelY + 1 55875 0.33848245 0.44739941 19.393616 25.634098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44744263-0.44739941) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dl = 275.354620000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44744263-0.44739941) × R
    4.32200000000105e-05 × 6371000     		dr = 275.354620000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33843451-0.33848245) × cos(0.44744263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901556524424096 × 6371000     		do = 275.358568623877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33843451-0.33848245) × cos(0.44739941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901575223205073 × 6371000     		du = 275.364279712894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44744263)-sin(0.44739941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901556524424096-0.901575223205073)×R²
    abs(0.33848245-0.33843451)×1.86987809763783e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86987809763783e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86987809763783e-05×40589641000000     		ar = 75822.040326372m²