Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7259 / 4842
↖ ↑ ↗
← N 59.063154°
W 20.500488°		 ← 1 256.07 m → N 59.063154°
W 20.478515°		 →
↑
1 256.23 m
↓
↑
1 256.23 m
↓
N 59.051856°
W 20.500488°		 ← 1 256.49 m →
1 578 180 m²		 N 59.051856°
W 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443084716796875 y=0.295562744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443084716796875 × 214)
    floor (0.443084716796875 × 16384)
    floor (7259.5)     		tx = 7259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295562744140625 × 214)
    floor (0.295562744140625 × 16384)
    floor (4842.5)     		ty = 4842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7259 / 4842 ti = "14/7259/4842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7259/4842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7259 ÷ 214
    7259 ÷ 16384     		x = 0.44305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4842 ÷ 214
    4842 ÷ 16384     		y = 0.2955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2955322265625 × 2 - 1) × π
    0.408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2847089098175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35780102} λ = -0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2847089098175))-π/2
    2×atan(3.61361591598899)-π/2
    2×1.30082141555915-π/2
    2.60164283111829-1.57079632675     		φ = 1.03084650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03084650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.063154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7259 KachelY 4842 -0.35780102 1.03084650 -20.500488 59.063154
    Oben rechts KachelX + 1 7260 KachelY 4842 -0.35741752 1.03084650 -20.478515 59.063154
    Unten links KachelX 7259 KachelY + 1 4843 -0.35780102 1.03064932 -20.500488 59.051856
    Unten rechts KachelX + 1 7260 KachelY + 1 4843 -0.35741752 1.03064932 -20.478515 59.051856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03084650-1.03064932) × R
    0.000197180000000019 × 6371000     		dl = 1256.23378000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03084650-1.03064932) × R
    0.000197180000000019 × 6371000     		dr = 1256.23378000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35780102--0.35741752) × cos(1.03084650) × R
    0.000383500000000037 × 0.514092957012412 × 6371000     		do = 1256.07226886997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35780102--0.35741752) × cos(1.03064932) × R
    0.000383500000000037 × 0.514262075101365 × 6371000     		du = 1256.48547146067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03084650)-sin(1.03064932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514092957012412-0.514262075101365)×R²
    abs(-0.35741752--0.35780102)×0.00016911808895359×R²
    0.000383500000000037×0.00016911808895359×6371000²
    0.000383500000000037×0.00016911808895359×40589641000000     		ar = 1578179.95891693m²