Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7258 / 3510
↖ ↑ ↗
← N 71.145194°
W 20.522461°		 ← 789.58 m → N 71.145194°
W 20.500488°		 →
↑
789.69 m
↓
↑
789.69 m
↓
N 71.138093°
W 20.522461°		 ← 789.86 m →
623 630 m²		 N 71.138093°
W 20.500488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443023681640625 y=0.214263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443023681640625 × 214)
    floor (0.443023681640625 × 16384)
    floor (7258.5)     		tx = 7258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214263916015625 × 214)
    floor (0.214263916015625 × 16384)
    floor (3510.5)     		ty = 3510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7258 / 3510 ti = "14/7258/3510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7258/3510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7258 ÷ 214
    7258 ÷ 16384     		x = 0.4429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3510 ÷ 214
    3510 ÷ 16384     		y = 0.2142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2142333984375 × 2 - 1) × π
    0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35818451} λ = -0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79552451216882))-π/2
    2×atan(6.02263283771147)-π/2
    2×1.40625711078198-π/2
    2.81251422156396-1.57079632675     		φ = 1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7258 KachelY 3510 -0.35818451 1.24171789 -20.522461 71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 7259 KachelY 3510 -0.35780102 1.24171789 -20.500488 71.145194
    Unten links KachelX 7258 KachelY + 1 3511 -0.35818451 1.24159394 -20.522461 71.138093
    Unten rechts KachelX + 1 7259 KachelY + 1 3511 -0.35780102 1.24159394 -20.500488 71.138093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24171789-1.24159394) × R
    0.000123950000000095 × 6371000     		dl = 789.685450000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24171789-1.24159394) × R
    0.000123950000000095 × 6371000     		dr = 789.685450000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35818451--0.35780102) × cos(1.24171789) × R
    0.000383489999999986 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 789.576296640096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35818451--0.35780102) × cos(1.24159394) × R
    0.000383489999999986 × 0.323288349533144 × 6371000     		du = 789.86287701404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24171789)-sin(1.24159394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323288349533144)×R²
    abs(-0.35780102--0.35818451)×0.000117296430554026×R²
    0.000383489999999986×0.000117296430554026×6371000²
    0.000383489999999986×0.000117296430554026×40589641000000     		ar = 623630.068096622m²