Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72579 / 96124
↖ ↑ ↗
← S 64.009682°
E 19.344177°		 ← 133.84 m → S 64.009682°
E 19.346924°		 →
↑
133.79 m
↓
↑
133.79 m
↓
S 64.010886°
E 19.344177°		 ← 133.84 m →
17 907 m²		 S 64.010886°
E 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553737640380859 y=0.733371734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553737640380859 × 217)
    floor (0.553737640380859 × 131072)
    floor (72579.5)     		tx = 72579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733371734619141 × 217)
    floor (0.733371734619141 × 131072)
    floor (96124.5)     		ty = 96124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72579 / 96124 ti = "17/72579/96124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72579/96124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72579 ÷ 217
    72579 ÷ 131072     		x = 0.553733825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96124 ÷ 217
    96124 ÷ 131072     		y = 0.733367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553733825683594 × 2 - 1) × π
    0.107467651367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.33761958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733367919921875 × 2 - 1) × π
    -0.46673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46629388557828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33761958} λ = 0.33761958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46629388557828))-π/2
    2×atan(0.230779196341744)-π/2
    2×0.226808309728478-π/2
    0.453616619456956-1.57079632675     		φ = -1.11717971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33761958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.344177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11717971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.009682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72579 KachelY 96124 0.33761958 -1.11717971 19.344177 -64.009682
    Oben rechts KachelX + 1 72580 KachelY 96124 0.33766752 -1.11717971 19.346924 -64.009682
    Unten links KachelX 72579 KachelY + 1 96125 0.33761958 -1.11720071 19.344177 -64.010886
    Unten rechts KachelX + 1 72580 KachelY + 1 96125 0.33766752 -1.11720071 19.346924 -64.010886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11717971--1.11720071) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dl = 133.791000000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11717971--1.11720071) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dr = 133.791000000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33761958-0.33766752) × cos(-1.11717971) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438219254471787 × 6371000     		do = 133.843440079361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33761958-0.33766752) × cos(-1.11720071) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438200378144783 × 6371000     		du = 133.837674763217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11717971)-sin(-1.11720071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438219254471787-0.438200378144783)×R²
    abs(0.33766752-0.33761958)×1.8876327004147e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8876327004147e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8876327004147e-05×40589641000000     		ar = 17906.6620185316m²