Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7257 / 10203
↖ ↑ ↗
← S 40.363288°
W 20.544434°		 ← 1 861.66 m → S 40.363288°
W 20.522461°		 →
↑
1 861.42 m
↓
↑
1 861.42 m
↓
S 40.380029°
W 20.544434°		 ← 1 861.20 m →
3 464 900 m²		 S 40.380029°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442962646484375 y=0.622772216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442962646484375 × 214)
    floor (0.442962646484375 × 16384)
    floor (7257.5)     		tx = 7257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622772216796875 × 214)
    floor (0.622772216796875 × 16384)
    floor (10203.5)     		ty = 10203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7257 / 10203 ti = "14/7257/10203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7257/10203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7257 ÷ 214
    7257 ÷ 16384     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10203 ÷ 214
    10203 ÷ 16384     		y = 0.62274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.2454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.771208841087463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771208841087463))-π/2
    2×atan(0.462453697253697)-π/2
    2×0.433162024165436-π/2
    0.866324048330872-1.57079632675     		φ = -0.70447228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70447228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.363288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7257 KachelY 10203 -0.35856801 -0.70447228 -20.544434 -40.363288
    Oben rechts KachelX + 1 7258 KachelY 10203 -0.35818451 -0.70447228 -20.522461 -40.363288
    Unten links KachelX 7257 KachelY + 1 10204 -0.35856801 -0.70476445 -20.544434 -40.380029
    Unten rechts KachelX + 1 7258 KachelY + 1 10204 -0.35818451 -0.70476445 -20.522461 -40.380029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70447228--0.70476445) × R
    0.000292170000000036 × 6371000     		dl = 1861.41507000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70447228--0.70476445) × R
    0.000292170000000036 × 6371000     		dr = 1861.41507000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35818451) × cos(-0.70447228) × R
    0.000383499999999981 × 0.761953426108723 × 6371000     		do = 1861.66442401269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35818451) × cos(-0.70476445) × R
    0.000383499999999981 × 0.761764175000645 × 6371000     		du = 1861.20203084922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70447228)-sin(-0.70476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761953426108723-0.761764175000645)×R²
    abs(-0.35818451--0.35856801)×0.000189251108078325×R²
    0.000383499999999981×0.000189251108078325×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189251108078325×40589641000000     		ar = 3464899.88598766m²