Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72568 / 77224
↖ ↑ ↗
← S 30.543339°
E 19.313965°		 ← 263.05 m → S 30.543339°
E 19.316712°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
S 30.545704°
E 19.313965°		 ← 263.04 m →
69 179 m²		 S 30.545704°
E 19.316712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553653717041016 y=0.589176177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553653717041016 × 217)
    floor (0.553653717041016 × 131072)
    floor (72568.5)     		tx = 72568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589176177978516 × 217)
    floor (0.589176177978516 × 131072)
    floor (77224.5)     		ty = 77224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72568 / 77224 ti = "17/72568/77224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72568/77224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72568 ÷ 217
    72568 ÷ 131072     		x = 0.55364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77224 ÷ 217
    77224 ÷ 131072     		y = 0.58917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55364990234375 × 2 - 1) × π
    0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.560286482759216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33709228} λ = 0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560286482759216))-π/2
    2×atan(0.571045445738117)-π/2
    2×0.518857248752365-π/2
    1.03771449750473-1.57079632675     		φ = -0.53308183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53308183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.543339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72568 KachelY 77224 0.33709228 -0.53308183 19.313965 -30.543339
    Oben rechts KachelX + 1 72569 KachelY 77224 0.33714022 -0.53308183 19.316712 -30.543339
    Unten links KachelX 72568 KachelY + 1 77225 0.33709228 -0.53312311 19.313965 -30.545704
    Unten rechts KachelX + 1 72569 KachelY + 1 77225 0.33714022 -0.53312311 19.316712 -30.545704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53308183--0.53312311) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53308183--0.53312311) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33709228-0.33714022) × cos(-0.53308183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861245007836189 × 6371000     		do = 263.046393839501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33709228-0.33714022) × cos(-0.53312311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.861224029020807 × 6371000     		du = 263.039986369289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53308183)-sin(-0.53312311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861245007836189-0.861224029020807)×R²
    abs(0.33714022-0.33709228)×2.09788153821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09788153821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09788153821e-05×40589641000000     		ar = 69179.0122262786m²