Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72564 / 77139
↖ ↑ ↗
← S 30.342065°
E 19.302978°		 ← 263.59 m → S 30.342065°
E 19.305725°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 30.344436°
E 19.302978°		 ← 263.58 m →
69 473 m²		 S 30.344436°
E 19.305725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553623199462891 y=0.588527679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553623199462891 × 217)
    floor (0.553623199462891 × 131072)
    floor (72564.5)     		tx = 72564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588527679443359 × 217)
    floor (0.588527679443359 × 131072)
    floor (77139.5)     		ty = 77139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72564 / 77139 ti = "17/72564/77139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72564/77139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72564 ÷ 217
    72564 ÷ 131072     		x = 0.553619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77139 ÷ 217
    77139 ÷ 131072     		y = 0.588523864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553619384765625 × 2 - 1) × π
    0.10723876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33690053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588523864746094 × 2 - 1) × π
    -0.177047729492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.556211846291512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33690053} λ = 0.33690053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556211846291512))-π/2
    2×atan(0.573376995218481)-π/2
    2×0.520613693202244-π/2
    1.04122738640449-1.57079632675     		φ = -0.52956894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33690053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.302978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52956894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.342065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72564 KachelY 77139 0.33690053 -0.52956894 19.302978 -30.342065
    Oben rechts KachelX + 1 72565 KachelY 77139 0.33694847 -0.52956894 19.305725 -30.342065
    Unten links KachelX 72564 KachelY + 1 77140 0.33690053 -0.52961031 19.302978 -30.344436
    Unten rechts KachelX + 1 72565 KachelY + 1 77140 0.33694847 -0.52961031 19.305725 -30.344436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52956894--0.52961031) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dl = 263.568270000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52956894--0.52961031) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dr = 263.568270000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33690053-0.33694847) × cos(-0.52956894) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863024905549808 × 6371000     		do = 263.590020416112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33690053-0.33694847) × cos(-0.52961031) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863004006285304 × 6371000     		du = 263.583637242786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52956894)-sin(-0.52961031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863024905549808-0.863004006285304)×R²
    abs(0.33694847-0.33690053)×2.08992645035488e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08992645035488e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08992645035488e-05×40589641000000     		ar = 69473.124479352m²