Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72561 / 77135
↖ ↑ ↗
← S 30.332583°
E 19.294739°		 ← 263.62 m → S 30.332583°
E 19.297486°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 30.334954°
E 19.294739°		 ← 263.61 m →
69 480 m²		 S 30.334954°
E 19.297486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553600311279297 y=0.588497161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553600311279297 × 217)
    floor (0.553600311279297 × 131072)
    floor (72561.5)     		tx = 72561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588497161865234 × 217)
    floor (0.588497161865234 × 131072)
    floor (77135.5)     		ty = 77135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72561 / 77135 ti = "17/72561/77135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72561/77135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72561 ÷ 217
    72561 ÷ 131072     		x = 0.553596496582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77135 ÷ 217
    77135 ÷ 131072     		y = 0.588493347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553596496582031 × 2 - 1) × π
    0.107192993164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.33675672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588493347167969 × 2 - 1) × π
    -0.176986694335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.556020098693031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33675672} λ = 0.33675672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556020098693031))-π/2
    2×atan(0.573486949421729)-π/2
    2×0.520696438685824-π/2
    1.04139287737165-1.57079632675     		φ = -0.52940345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33675672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.294739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52940345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.332583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72561 KachelY 77135 0.33675672 -0.52940345 19.294739 -30.332583
    Oben rechts KachelX + 1 72562 KachelY 77135 0.33680466 -0.52940345 19.297486 -30.332583
    Unten links KachelX 72561 KachelY + 1 77136 0.33675672 -0.52944482 19.294739 -30.334954
    Unten rechts KachelX + 1 72562 KachelY + 1 77136 0.33680466 -0.52944482 19.297486 -30.334954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52940345--0.52944482) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dl = 263.568270000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52940345--0.52944482) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dr = 263.568270000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33675672-0.33680466) × cos(-0.52940345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863108492887177 × 6371000     		do = 263.615550140178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33675672-0.33680466) × cos(-0.52944482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863087599531434 × 6371000     		du = 263.609168771539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52940345)-sin(-0.52944482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863108492887177-0.863087599531434)×R²
    abs(0.33680466-0.33675672)×2.08933557430679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08933557430679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08933557430679e-05×40589641000000     		ar = 69479.8535423243m²