Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7256 / 10794
↖ ↑ ↗
← S 49.525208°
W 20.566406°		 ← 1 585.92 m → S 49.525208°
W 20.544434°		 →
↑
1 585.68 m
↓
↑
1 585.68 m
↓
S 49.539469°
W 20.566406°		 ← 1 585.46 m →
2 514 398 m²		 S 49.539469°
W 20.544434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442901611328125 y=0.658843994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442901611328125 × 214)
    floor (0.442901611328125 × 16384)
    floor (7256.5)     		tx = 7256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658843994140625 × 214)
    floor (0.658843994140625 × 16384)
    floor (10794.5)     		ty = 10794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7256 / 10794 ti = "14/7256/10794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7256/10794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7256 ÷ 214
    7256 ÷ 16384     		x = 0.44287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10794 ÷ 214
    10794 ÷ 16384     		y = 0.6588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997854502491089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35895150} λ = -0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997854502491089))-π/2
    2×atan(0.368669572905797)-π/2
    2×0.353209189254897-π/2
    0.706418378509794-1.57079632675     		φ = -0.86437795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86437795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.525208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7256 KachelY 10794 -0.35895150 -0.86437795 -20.566406 -49.525208
    Oben rechts KachelX + 1 7257 KachelY 10794 -0.35856801 -0.86437795 -20.544434 -49.525208
    Unten links KachelX 7256 KachelY + 1 10795 -0.35895150 -0.86462684 -20.566406 -49.539469
    Unten rechts KachelX + 1 7257 KachelY + 1 10795 -0.35856801 -0.86462684 -20.544434 -49.539469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86437795--0.86462684) × R
    0.000248890000000057 × 6371000     		dl = 1585.67819000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86437795--0.86462684) × R
    0.000248890000000057 × 6371000     		dr = 1585.67819000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35895150--0.35856801) × cos(-0.86437795) × R
    0.000383489999999986 × 0.64911342947038 × 6371000     		do = 1585.9235312696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35895150--0.35856801) × cos(-0.86462684) × R
    0.000383489999999986 × 0.648924080827522 × 6371000     		du = 1585.4609118649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86437795)-sin(-0.86462684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64911342947038-0.648924080827522)×R²
    abs(-0.35856801--0.35895150)×0.000189348642857134×R²
    0.000383489999999986×0.000189348642857134×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189348642857134×40589641000000     		ar = 2514397.58477242m²