Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72559 / 77136
↖ ↑ ↗
← S 30.334954°
E 19.289246°		 ← 263.55 m → S 30.334954°
E 19.291992°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
S 30.337325°
E 19.289246°		 ← 263.55 m →
69 480 m²		 S 30.337325°
E 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553585052490234 y=0.588504791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553585052490234 × 217)
    floor (0.553585052490234 × 131072)
    floor (72559.5)     		tx = 72559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588504791259766 × 217)
    floor (0.588504791259766 × 131072)
    floor (77136.5)     		ty = 77136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72559 / 77136 ti = "17/72559/77136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72559/77136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72559 ÷ 217
    72559 ÷ 131072     		x = 0.553581237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77136 ÷ 217
    77136 ÷ 131072     		y = 0.5885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553581237792969 × 2 - 1) × π
    0.107162475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.33666085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33666085} λ = 0.33666085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556068035592651))-π/2
    2×atan(0.573459458894311)-π/2
    2×0.520675751563639-π/2
    1.04135150312728-1.57079632675     		φ = -0.52944482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33666085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.289246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52944482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.334954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72559 KachelY 77136 0.33666085 -0.52944482 19.289246 -30.334954
    Oben rechts KachelX + 1 72560 KachelY 77136 0.33670878 -0.52944482 19.291992 -30.334954
    Unten links KachelX 72559 KachelY + 1 77137 0.33666085 -0.52948620 19.289246 -30.337325
    Unten rechts KachelX + 1 72560 KachelY + 1 77137 0.33670878 -0.52948620 19.291992 -30.337325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52944482--0.52948620) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dl = 263.631979999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52944482--0.52948620) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dr = 263.631979999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33666085-0.33670878) × cos(-0.52944482) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.863087599531434 × 6371000     		do = 263.554181460602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33666085-0.33670878) × cos(-0.52948620) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.863066699647637 × 6371000     		du = 263.547799429659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52944482)-sin(-0.52948620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863087599531434-0.863066699647637)×R²
    abs(0.33670878-0.33666085)×2.08998837971652e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08998837971652e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08998837971652e-05×40589641000000     		ar = 69480.4694520552m²