Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72552 / 96894
↖ ↑ ↗
← S 64.921214°
E 19.270020°		 ← 129.43 m → S 64.921214°
E 19.272766°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
S 64.922378°
E 19.270020°		 ← 129.43 m →
16 756 m²		 S 64.922378°
E 19.272766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553531646728516 y=0.739246368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553531646728516 × 217)
    floor (0.553531646728516 × 131072)
    floor (72552.5)     		tx = 72552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739246368408203 × 217)
    floor (0.739246368408203 × 131072)
    floor (96894.5)     		ty = 96894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72552 / 96894 ti = "17/72552/96894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72552/96894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72552 ÷ 217
    72552 ÷ 131072     		x = 0.55352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96894 ÷ 217
    96894 ÷ 131072     		y = 0.739242553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55352783203125 × 2 - 1) × π
    0.1070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33632529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739242553710938 × 2 - 1) × π
    -0.478485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50320529828572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33632529} λ = 0.33632529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50320529828572))-π/2
    2×atan(0.222416106417558)-π/2
    2×0.2188536985195-π/2
    0.437707397039-1.57079632675     		φ = -1.13308893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33632529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.270020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13308893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.921214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72552 KachelY 96894 0.33632529 -1.13308893 19.270020 -64.921214
    Oben rechts KachelX + 1 72553 KachelY 96894 0.33637322 -1.13308893 19.272766 -64.921214
    Unten links KachelX 72552 KachelY + 1 96895 0.33632529 -1.13310925 19.270020 -64.922378
    Unten rechts KachelX + 1 72553 KachelY + 1 96895 0.33637322 -1.13310925 19.272766 -64.922378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13308893--1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13308893--1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33632529-0.33637322) × cos(-1.13308893) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.423864110945423 × 6371000     		do = 129.432005362369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33632529-0.33637322) × cos(-1.13310925) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.423845706509765 × 6371000     		du = 129.426385346536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13308893)-sin(-1.13310925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423864110945423-0.423845706509765)×R²
    abs(0.33637322-0.33632529)×1.84044356572599e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84044356572599e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84044356572599e-05×40589641000000     		ar = 16755.7379616595m²