Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7255 / 3511
↖ ↑ ↗
← N 71.138093°
W 20.588379°		 ← 789.88 m → N 71.138093°
W 20.566406°		 →
↑
790 m
↓
↑
790 m
↓
N 71.130988°
W 20.588379°		 ← 790.17 m →
624 124 m²		 N 71.130988°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442840576171875 y=0.214324951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442840576171875 × 214)
    floor (0.442840576171875 × 16384)
    floor (7255.5)     		tx = 7255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214324951171875 × 214)
    floor (0.214324951171875 × 16384)
    floor (3511.5)     		ty = 3511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7255 / 3511 ti = "14/7255/3511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7255/3511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7255 ÷ 214
    7255 ÷ 16384     		x = 0.44281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3511 ÷ 214
    3511 ÷ 16384     		y = 0.21429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21429443359375 × 2 - 1) × π
    0.5714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79514101697186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35933500} λ = -0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79514101697186))-π/2
    2×atan(6.02032362975853)-π/2
    2×1.40619513226382-π/2
    2.81239026452764-1.57079632675     		φ = 1.24159394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24159394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.138093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7255 KachelY 3511 -0.35933500 1.24159394 -20.588379 71.138093
    Oben rechts KachelX + 1 7256 KachelY 3511 -0.35895150 1.24159394 -20.566406 71.138093
    Unten links KachelX 7255 KachelY + 1 3512 -0.35933500 1.24146994 -20.588379 71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 7256 KachelY + 1 3512 -0.35895150 1.24146994 -20.566406 71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24159394-1.24146994) × R
    0.000124000000000013 × 6371000     		dl = 790.004000000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24159394-1.24146994) × R
    0.000124000000000013 × 6371000     		dr = 790.004000000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35933500--0.35895150) × cos(1.24159394) × R
    0.000383500000000037 × 0.323288349533144 × 6371000     		do = 789.883473714892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35933500--0.35895150) × cos(1.24146994) × R
    0.000383500000000037 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 790.170165025222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24159394)-sin(1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323288349533144-0.323405688309846)×R²
    abs(-0.35895150--0.35933500)×0.000117338776701115×R²
    0.000383500000000037×0.000117338776701115×6371000²
    0.000383500000000037×0.000117338776701115×40589641000000     		ar = 624124.348208565m²