Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72545 / 77219
↖ ↑ ↗
← S 30.531511°
E 19.250793°		 ← 263.08 m → S 30.531511°
E 19.253540°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
S 30.533877°
E 19.250793°		 ← 263.07 m →
69 204 m²		 S 30.533877°
E 19.253540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553478240966797 y=0.589138031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553478240966797 × 217)
    floor (0.553478240966797 × 131072)
    floor (72545.5)     		tx = 72545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589138031005859 × 217)
    floor (0.589138031005859 × 131072)
    floor (77219.5)     		ty = 77219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72545 / 77219 ti = "17/72545/77219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72545/77219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72545 ÷ 217
    72545 ÷ 131072     		x = 0.553474426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77219 ÷ 217
    77219 ÷ 131072     		y = 0.589134216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553474426269531 × 2 - 1) × π
    0.106948852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.33598973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589134216308594 × 2 - 1) × π
    -0.178268432617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.560046798261116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33598973} λ = 0.33598973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560046798261116))-π/2
    2×atan(0.571182332883379)-π/2
    2×0.518960468576628-π/2
    1.03792093715326-1.57079632675     		φ = -0.53287539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33598973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.250793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53287539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.531511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72545 KachelY 77219 0.33598973 -0.53287539 19.250793 -30.531511
    Oben rechts KachelX + 1 72546 KachelY 77219 0.33603767 -0.53287539 19.253540 -30.531511
    Unten links KachelX 72545 KachelY + 1 77220 0.33598973 -0.53291668 19.250793 -30.533877
    Unten rechts KachelX + 1 72546 KachelY + 1 77220 0.33603767 -0.53291668 19.253540 -30.533877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53287539--0.53291668) × R
    4.12900000000826e-05 × 6371000     		dl = 263.058590000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53287539--0.53291668) × R
    4.12900000000826e-05 × 6371000     		dr = 263.058590000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33598973-0.33603767) × cos(-0.53287539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861349900218953 × 6371000     		do = 263.078430673432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33598973-0.33603767) × cos(-0.53291668) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861328923662846 × 6371000     		du = 263.07202389326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53287539)-sin(-0.53291668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861349900218953-0.861328923662846)×R²
    abs(0.33603767-0.33598973)×2.09765561067776e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09765561067776e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09765561067776e-05×40589641000000     		ar = 69204.1983631239m²