Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72544 / 96860
↖ ↑ ↗
← S 64.881602°
E 19.248047°		 ← 129.65 m → S 64.881602°
E 19.250793°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
S 64.882768°
E 19.248047°		 ← 129.64 m →
16 809 m²		 S 64.882768°
E 19.250793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553470611572266 y=0.738986968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553470611572266 × 217)
    floor (0.553470611572266 × 131072)
    floor (72544.5)     		tx = 72544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738986968994141 × 217)
    floor (0.738986968994141 × 131072)
    floor (96860.5)     		ty = 96860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72544 / 96860 ti = "17/72544/96860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72544/96860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72544 ÷ 217
    72544 ÷ 131072     		x = 0.553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96860 ÷ 217
    96860 ÷ 131072     		y = 0.738983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553466796875 × 2 - 1) × π
    0.10693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33594179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.47796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50157544369864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33594179} λ = 0.33594179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50157544369864))-π/2
    2×atan(0.222778907905365)-π/2
    2×0.219199372003993-π/2
    0.438398744007986-1.57079632675     		φ = -1.13239758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33594179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.248047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13239758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.881602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72544 KachelY 96860 0.33594179 -1.13239758 19.248047 -64.881602
    Oben rechts KachelX + 1 72545 KachelY 96860 0.33598973 -1.13239758 19.250793 -64.881602
    Unten links KachelX 72544 KachelY + 1 96861 0.33594179 -1.13241793 19.248047 -64.882768
    Unten rechts KachelX + 1 72545 KachelY + 1 96861 0.33598973 -1.13241793 19.250793 -64.882768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13239758--1.13241793) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13239758--1.13241793) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33594179-0.33598973) × cos(-1.13239758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424490183127746 × 6371000     		do = 129.650228304442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33594179-0.33598973) × cos(-1.13241793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424471757487663 × 6371000     		du = 129.644600639685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13239758)-sin(-1.13241793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424490183127746-0.424471757487663)×R²
    abs(0.33598973-0.33594179)×1.84256400825311e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84256400825311e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84256400825311e-05×40589641000000     		ar = 16808.7678398523m²