Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72543 / 96889
↖ ↑ ↗
← S 64.915392°
E 19.245301°		 ← 129.46 m → S 64.915392°
E 19.248047°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
S 64.916557°
E 19.245301°		 ← 129.45 m →
16 759 m²		 S 64.916557°
E 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553462982177734 y=0.739208221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553462982177734 × 217)
    floor (0.553462982177734 × 131072)
    floor (72543.5)     		tx = 72543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739208221435547 × 217)
    floor (0.739208221435547 × 131072)
    floor (96889.5)     		ty = 96889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72543 / 96889 ti = "17/72543/96889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72543/96889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72543 ÷ 217
    72543 ÷ 131072     		x = 0.553459167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96889 ÷ 217
    96889 ÷ 131072     		y = 0.739204406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553459167480469 × 2 - 1) × π
    0.106918334960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.33589386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739204406738281 × 2 - 1) × π
    -0.478408813476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.50296561378762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33589386} λ = 0.33589386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50296561378762))-π/2
    2×atan(0.222469422499658)-π/2
    2×0.218904500861887-π/2
    0.437809001723774-1.57079632675     		φ = -1.13298733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33589386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.245301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13298733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.915392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72543 KachelY 96889 0.33589386 -1.13298733 19.245301 -64.915392
    Oben rechts KachelX + 1 72544 KachelY 96889 0.33594179 -1.13298733 19.248047 -64.915392
    Unten links KachelX 72543 KachelY + 1 96890 0.33589386 -1.13300765 19.245301 -64.916557
    Unten rechts KachelX + 1 72544 KachelY + 1 96890 0.33594179 -1.13300765 19.248047 -64.916557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13298733--1.13300765) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13298733--1.13300765) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33589386-0.33594179) × cos(-1.13298733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42395613049834 × 6371000     		do = 129.460104639997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33589386-0.33594179) × cos(-1.13300765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.423937726937831 × 6371000     		du = 129.454484891401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13298733)-sin(-1.13300765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42395613049834-0.423937726937831)×R²
    abs(0.33594179-0.33589386)×1.84035605087507e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84035605087507e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84035605087507e-05×40589641000000     		ar = 16759.3756756104m²