Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7253 / 3538
↖ ↑ ↗
← N 70.945355°
W 20.632324°		 ← 797.66 m → N 70.945355°
W 20.610351°		 →
↑
797.78 m
↓
↑
797.78 m
↓
N 70.938181°
W 20.632324°		 ← 797.95 m →
636 467 m²		 N 70.938181°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442718505859375 y=0.215972900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442718505859375 × 214)
    floor (0.442718505859375 × 16384)
    floor (7253.5)     		tx = 7253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215972900390625 × 214)
    floor (0.215972900390625 × 16384)
    floor (3538.5)     		ty = 3538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7253 / 3538 ti = "14/7253/3538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7253/3538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7253 ÷ 214
    7253 ÷ 16384     		x = 0.44268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3538 ÷ 214
    3538 ÷ 16384     		y = 0.2159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36010199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2159423828125 × 2 - 1) × π
    0.568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78478664665393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36010199} λ = -0.36010199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78478664665393))-π/2
    2×atan(5.95830858688895)-π/2
    2×1.40451318506274-π/2
    2.80902637012549-1.57079632675     		φ = 1.23823004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36010199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.632324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23823004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.945355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7253 KachelY 3538 -0.36010199 1.23823004 -20.632324 70.945355
    Oben rechts KachelX + 1 7254 KachelY 3538 -0.35971849 1.23823004 -20.610351 70.945355
    Unten links KachelX 7253 KachelY + 1 3539 -0.36010199 1.23810482 -20.632324 70.938181
    Unten rechts KachelX + 1 7254 KachelY + 1 3539 -0.35971849 1.23810482 -20.610351 70.938181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23823004-1.23810482) × R
    0.000125219999999926 × 6371000     		dl = 797.776619999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23823004-1.23810482) × R
    0.000125219999999926 × 6371000     		dr = 797.776619999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36010199--0.35971849) × cos(1.23823004) × R
    0.000383499999999981 × 0.326469774658391 × 6371000     		do = 797.656581322652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36010199--0.35971849) × cos(1.23810482) × R
    0.000383499999999981 × 0.326588130999465 × 6371000     		du = 797.945758826136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23823004)-sin(1.23810482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326469774658391-0.326588130999465)×R²
    abs(-0.35971849--0.36010199)×0.000118356341073655×R²
    0.000383499999999981×0.000118356341073655×6371000²
    0.000383499999999981×0.000118356341073655×40589641000000     		ar = 636467.121724501m²