Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72521 / 95721
↖ ↑ ↗
← S 63.520399°
E 19.184875°		 ← 136.18 m → S 63.520399°
E 19.187622°		 →
↑
136.15 m
↓
↑
136.15 m
↓
S 63.521624°
E 19.184875°		 ← 136.18 m →
18 541 m²		 S 63.521624°
E 19.187622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553295135498047 y=0.730297088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553295135498047 × 217)
    floor (0.553295135498047 × 131072)
    floor (72521.5)     		tx = 72521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730297088623047 × 217)
    floor (0.730297088623047 × 131072)
    floor (95721.5)     		ty = 95721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72521 / 95721 ti = "17/72521/95721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72521/95721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72521 ÷ 217
    72521 ÷ 131072     		x = 0.553291320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95721 ÷ 217
    95721 ÷ 131072     		y = 0.730293273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553291320800781 × 2 - 1) × π
    0.106582641601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.33483924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730293273925781 × 2 - 1) × π
    -0.460586547851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.4469753150314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33483924} λ = 0.33483924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4469753150314))-π/2
    2×atan(0.235280863409777)-π/2
    2×0.231078108225755-π/2
    0.462156216451509-1.57079632675     		φ = -1.10864011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33483924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.184875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10864011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.520399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72521 KachelY 95721 0.33483924 -1.10864011 19.184875 -63.520399
    Oben rechts KachelX + 1 72522 KachelY 95721 0.33488718 -1.10864011 19.187622 -63.520399
    Unten links KachelX 72521 KachelY + 1 95722 0.33483924 -1.10866148 19.184875 -63.521624
    Unten rechts KachelX + 1 72522 KachelY + 1 95722 0.33488718 -1.10866148 19.187622 -63.521624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10864011--1.10866148) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dl = 136.148270000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10864011--1.10866148) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dr = 136.148270000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33483924-0.33488718) × cos(-1.10864011) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445879156895564 × 6371000     		do = 136.182971445472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33483924-0.33488718) × cos(-1.10866148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445860028652777 × 6371000     		du = 136.177129187764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10864011)-sin(-1.10866148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445879156895564-0.445860028652777)×R²
    abs(0.33488718-0.33483924)×1.91282427867701e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91282427867701e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91282427867701e-05×40589641000000     		ar = 18540.6782599248m²