Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72520 / 77191
↖ ↑ ↗
← S 30.465247°
E 19.182129°		 ← 263.20 m → S 30.465247°
E 19.184875°		 →
↑
263.25 m
↓
↑
263.25 m
↓
S 30.467614°
E 19.182129°		 ← 263.20 m →
69 287 m²		 S 30.467614°
E 19.184875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553287506103516 y=0.588924407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553287506103516 × 217)
    floor (0.553287506103516 × 131072)
    floor (72520.5)     		tx = 72520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588924407958984 × 217)
    floor (0.588924407958984 × 131072)
    floor (77191.5)     		ty = 77191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72520 / 77191 ti = "17/72520/77191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72520/77191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72520 ÷ 217
    72520 ÷ 131072     		x = 0.55328369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77191 ÷ 217
    77191 ÷ 131072     		y = 0.588920593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55328369140625 × 2 - 1) × π
    0.1065673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33479131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588920593261719 × 2 - 1) × π
    -0.177841186523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.558704565071754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33479131} λ = 0.33479131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558704565071754))-π/2
    2×atan(0.571949507516202)-π/2
    2×0.519538731787757-π/2
    1.03907746357551-1.57079632675     		φ = -0.53171886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33479131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.182129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53171886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.465247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72520 KachelY 77191 0.33479131 -0.53171886 19.182129 -30.465247
    Oben rechts KachelX + 1 72521 KachelY 77191 0.33483924 -0.53171886 19.184875 -30.465247
    Unten links KachelX 72520 KachelY + 1 77192 0.33479131 -0.53176018 19.182129 -30.467614
    Unten rechts KachelX + 1 72521 KachelY + 1 77192 0.33483924 -0.53176018 19.184875 -30.467614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53171886--0.53176018) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dl = 263.249720000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53171886--0.53176018) × R
    4.13200000000113e-05 × 6371000     		dr = 263.249720000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33479131-0.33483924) × cos(-0.53171886) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.861936855331102 × 6371000     		do = 263.202787875578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33479131-0.33483924) × cos(-0.53176018) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.861915904709125 × 6371000     		du = 263.196390351121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53171886)-sin(-0.53176018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861936855331102-0.861915904709125)×R²
    abs(0.33483924-0.33479131)×2.0950621976823e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0950621976823e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0950621976823e-05×40589641000000     		ar = 69287.2181482711m²