Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7252 / 5261
↖ ↑ ↗
← N 76.483478°
W100.327148°		 ← 285.53 m → N 76.483478°
W100.316162°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 76.480910°
W100.327148°		 ← 285.58 m →
81 558 m²		 N 76.480910°
W100.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221328735351562 y=0.160568237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221328735351562 × 215)
    floor (0.221328735351562 × 32768)
    floor (7252.5)     		tx = 7252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160568237304688 × 215)
    floor (0.160568237304688 × 32768)
    floor (5261.5)     		ty = 5261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7252 / 5261 ti = "15/7252/5261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7252/5261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7252 ÷ 215
    7252 ÷ 32768     		x = 0.2213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5261 ÷ 215
    5261 ÷ 32768     		y = 0.160552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.557373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75103907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160552978515625 × 2 - 1) × π
    0.67889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13280853789554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75103907} λ = -1.75103907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13280853789554))-π/2
    2×atan(8.43853350260879)-π/2
    2×1.45284242113535-π/2
    2.9056848422707-1.57079632675     		φ = 1.33488852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75103907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33488852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.483478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7252 KachelY 5261 -1.75103907 1.33488852 -100.327148 76.483478
    Oben rechts KachelX + 1 7253 KachelY 5261 -1.75084732 1.33488852 -100.316162 76.483478
    Unten links KachelX 7252 KachelY + 1 5262 -1.75103907 1.33484369 -100.327148 76.480910
    Unten rechts KachelX + 1 7253 KachelY + 1 5262 -1.75084732 1.33484369 -100.316162 76.480910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33488852-1.33484369) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33488852-1.33484369) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75103907--1.75084732) × cos(1.33488852) × R
    0.000191749999999935 × 0.233725744573871 × 6371000     		do = 285.528543306819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75103907--1.75084732) × cos(1.33484369) × R
    0.000191749999999935 × 0.233769332662946 × 6371000     		du = 285.581792227266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33488852)-sin(1.33484369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233725744573871-0.233769332662946)×R²
    abs(-1.75084732--1.75103907)×4.35880890752027e-05×R²
    0.000191749999999935×4.35880890752027e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.35880890752027e-05×40589641000000     		ar = 81557.9626009001m²